Ejemplos de espacios vectoriales "casi" en los que falla la ley unitaria

Question

Estaba mirando la definición en wikipedia de un espacio vectorial (hay definiciones similares/equivalentes en todas partes, pero pensé en enumerarla aquí para completarla):

Un espacio vectorial sobre un campo $F$ es un conjunto $V$ junto con dos operaciones binarias que satisfacen los ocho axiomas enumerados a continuación. Elementos de $V$ se llaman vectores. Los elementos de $F$ se denominan escalares. En los dos ejemplos anteriores, nuestro conjunto está formado por las flechas planas con punto de partida fijo y por pares de números reales, respectivamente, mientras que nuestro campo son los números reales. La primera operación, la suma de vectores, toma dos vectores cualesquiera $v$ y $w$ y les asigna un tercer vector que se escribe comúnmente como $v + w$ y se llama a la suma de estos dos vectores. La segunda operación toma cualquier escalar a y cualquier vector $v$ y da otro vector $av$ . Teniendo en cuenta el primer ejemplo, en el que la multiplicación se realiza reescalando el vector $v$ por un escalar $a$ la multiplicación se denomina multiplicación escalar de $v$ por $a$ .

Para calificar como espacio vectorial, el conjunto $V$ y las operaciones de adición y multiplicación deben cumplir una serie de requisitos llamados axiomas. En la siguiente lista, dejemos que $u$ , $v$ y $w$ sean vectores arbitrarios en $V$ y $a$ y $b$ escalares en $F$ .

1. Asociatividad de la adición: $u + (v + w) = (u + v) + w$

2. Conmutatividad de la suma: $u + v = v + u$

3. Elemento de identidad de la adición: Existe un elemento $0 ∈ V$ llamado vector cero, tal que $v + 0 = v$ para todos $v ∈ V$ .

4. Elementos inversos de la suma: Para cada $v ∈ V$ existe un elemento $−v ∈ V$ llamada la inversa aditiva de $v$ , de tal manera que $v + (−v) = 0$

5. Compatibilidad de la multiplicación escalar con la multiplicación de campos: $a(bv) = (ab)v$

6. Elemento de identidad de la multiplicación escalar: $1v = v$ , donde $1$ denota la identidad multiplicativa en $F$ .

7. Distributividad de la multiplicación escalar con respecto a la suma vectorial: $a(u + v) = au + av$

8. Distributividad de la multiplicación escalar con respecto a la suma de campos: $(a + b)v = av + bv$

Me preguntaba si hay algún ejemplo de espacios vectoriales en los que sólo falle la ley del elemento identidad de la multiplicación escalar. El único que se me ocurre sería redefinir la multiplicación escalar de un espacio vectorial verdadero para multiplicar el resultado por un factor constante. ¿Hay otras?

Answer 1

Creo que tu sugerencia "Multiplicar el resultado por un factor constante" no satisface la 5ª condición. Pero creo que lo siguiente funciona:

Poner $F=\mathbb{Q}$ , $V=\{a+b\sqrt{2} \mid a,b\in \mathbb{Q}\}$ :

La multiplicación escalar: $\lambda.(a+b\sqrt{2})=\lambda a$

El último es el producto habitual y el primero es el nuevo producto escalar. Ahora $1.\sqrt{2}=0$ .

Así que $V$ no es unital $\mathbb{Q}$ -módulo.

Answer 2

Cualquier espacio vectorial "casi" puede describirse como la suma directa $V = V_0 ⊕ V_1$ de grupos abelianos, donde $V_1$ es un espacio vectorial real y la multiplicación escalar por $1$ es la proyección sobre $\{0\}×V_1$ : $$V_0⊕V_1 ∋ (w, v) ↦ 1⋅(w, v) = (0, v) ∈ V_0 ⊕ V_1$$ La descomposición se puede encontrar de la siguiente manera:

Debido al axioma 4 y 1 para cada $v ∈ V$ hay un único $w ∈ V$ tal que $v = 1⋅v + w$ . Entonces los axiomas 5 y 7 nos dan $1⋅v = 1⋅(1⋅v) + 1⋅w = 1⋅v + 1⋅w$ . Así que de nuevo con el Axioma 1 y 4 tenemos $1⋅w = 0$ . Es fácil demostrar que entonces $$V_0 := \{v ∈ V | 1⋅v = 0\}$$ es un grupo abeliano y $$V_1 := \{v ∈ V | 1⋅v = v\}$$ es un espacio vectorial.

Answer 3

Un ejemplo sencillo que se puede hacer es tomar cualquier grupo abeliano, definiendo la estructura aditiva, y definir cualquier multiplicación escalar para que devuelva simplemente el vector cero. Esto muestra que sin el axioma 6. nuestro espacio ni siquiera tiene que parecerse remotamente a un espacio vectorial real.

Otra opción (de hecho una generalización) es comenzar con un grupo abeliano $A$ que contiene un espacio vectorial real $V$ como subgrupo (puede hacerse fácilmente mediante sumas directas), elegir un vector fijo $v_0\in V$ y para definir la multiplicación escalar $ax=a*v_0$ donde $*$ denota la multiplicación escalar real en el subespacio. En otras palabras, la multiplicación escalar ignora su argumento vectorial y lo sustituye por un vector fijo $v_0$ . Por inspección, los axiomas 5., 7. y 8. que implican la multiplicación escalar se cumplen.

También se puede preguntar en qué parte de la teoría se utiliza el axioma 6. Un uso muy básico es combinar la suma y la multiplicación en la operación de combinación lineal; por ejemplo, se puede definir un subespacio como cualquier conjunto no vacío cerrado bajo combinación lineal, en lugar de bajo suma y multiplicación por separado. Bit sin el axioma 6., la suma $x+y$ es no una combinación lineal $ax+by$ de $x$ y $y$ . Dado que las combinaciones lineales son fundamentales para la teoría, creo que no se llega muy lejos sin el axioma 6.