Aquí es un problema de álgebra agradable con que tuve un buen rato
Que $V$ sea un espacio del vector encima $\mathbb R$ $\dim V = n$ de dimensión finita. Que $v = \{ v_1, \dots, v_n\}$ sea una base para $V$. ¿Que %#% $ de #% que $$S_{n,k} = \{ v_1 + v_2 + \dots + v_k, v_2 + \dots + v_{k+1}, \dots, v_n + v_1 + \dots + v_{k-1}\}$ tenemos que #% el %#% sigue siendo una base para $n, k$?
Supongo que la respuesta es que son una base iff $k$ $n$ son coprime. Aquí está la mitad de la prueba.
Por el bien de la claridad, voy a asumir que $V = \mathbb R^n$ $(v_i)$ es la base canónica
Si $d$ divide tanto a a$n$$k$, vamos a $\zeta = \exp(2i\pi/d)$ $f : \mathbb C^n \to \mathbb C$ el complejo de la forma lineal definida por $f(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{k=1}^n x_i \zeta^i$. Visto como vectores de $\mathbb C^n$, los elementos de $S_{k,n}$ pertenecen todos a $\ker f$, por lo que el determinante de este sistema de vectores es 0 y que no son una base de $\mathbb R^n$. (Esa es una de las superpotencias de la determinante: al calcular el determinante de un sistema de vectores, las fórmulas son las mismas en todos los campos, por lo que incluso una compleja relación lineal impide real de los vectores que forman una base).
Añadido posterior: la otra mitad de la prueba.
Si $n$ $k$ son coprime, $k$ tiene una inversa modulo $n$. Así que usted puede encontrar $p > 0$ $q$ tal que $pk = qn + 1$.
Ahora, vamos a $V$ el (verdadero) espacio vectorial de generar por nuestros vectores. En particular, $V$ contiene la suma de todos los vectores de $S_{n,k}$, sólo $k\cdot(1,1, \ldots, 1)$. Por lo $(1, 1, \ldots, 1) \in V$. Ahora, agregue $p$ vectores de $S_{n,k}$: la que comienza con $v_1$, la que comienza con $v_{k+1}$, la que comienza con $v_{2k+1}$, y así sucesivamente (los índices se entiende modulo n). En pocas palabras, que tomar el primer vector en $S_{n,k}$, entonces el que comienza justo después de la última detiene, y así sucesivamente. Es como un mosaico de piso! (excepto que la habitación es algo así como un 1-dimensional analógica del mundo de la Serpiente y que no se detienen cuando el suelo está completamente de azulejos.)
La suma de esta $p$ vectores tiene todas sus componentes iguales a $q$, a excepción de uno que es $q+1$. Así, si tomamos la diferencia con $q\cdot(1,1, \ldots, 1)$, se obtiene uno de los vectores $(v_i)$.
Ahora es fácil conseguir que los otros vectores $(v_i)$: o copia de este "mosaico" procedimiento con otro primer vector o argumentar que $V$ es estable bajo permutación cíclica de las coordenadas.
P. S.: en realidad, no es difícil de usar este mosaico procedimiento para probar la condición necesaria así. De hecho, si empiezas a hacer sumas de vectores de la misma manera, con $d = \mathrm{gcd}(n,k) > 1$, la suma de los $n/d$ primer vectores será la constante de vectores $(k/d, \ldots, k/d)$. Es una nueva forma de probar que $(1,1, \ldots, 1)$$V$, y en conjunto, estas dos formas de dar una (real) relación lineal entre los vectores. Pero me gusta mi complejo de la prueba más, así que no voy a borrar.
Sugerencia: El conjunto de $S_{n,k}$ es una base si el correspondiente determinante no es cero. Pero este determinante es el Circulant.
El rango de la matriz de circulant es igual a $n-d$ donde $d$ grado del polinomio $(1+x+\cdots+x^{k-1},x^n-1).$ pues el cirulant no es cero iff el ortogonales son coprimos. Desde $1+x+\cdots+x^{k-1}=\dfrac{x^k-1}{x-1}$ obtenemos que $(n,k)=1.$
Así $S_{n,k}$ es una base si $n$ y $k$ son coprimos.
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