¿Cómo puedo calcular $\int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$ de forma cerrada?

Question

¿Cómo se puede evaluar la esperanza de la FCD normal al cuadrado de forma cerrada?

$$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$$

Toma, $a$ , $b$ son números reales, $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ y $\phi(\cdot)$ y $\Phi(\cdot)$ son las funciones de densidad y distribución de una variable aleatoria normal estándar, respectivamente.

Answer 1

Como señalé en mi comentario anterior, consulta Wikipedia para ver una lista de integrales de funciones gaussianas. Usando tu notación, da $$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$$ donde $T(h,q)$ es la función T de Owen definida por $$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$$

Si conecta $a=1,b=0$ obtendrás $1 \over 3$ como indican los comentarios.