Una fascinante cadena de números.

Question

Tome un número de dos dígitos $10x+y$ de los cuales los dos dígitos son diferentes. ahora agrega $y-x$ a este número. Repitiendo este proceso obtendrás una cadena de números $45,46,48,52,49,54,53,51,47,50.$ después de $50, 45$ vendrá y la cadena se repetirá. desde cualquier número entraremos en esta cadena.

¿Puede alguien ayudarme a probar esto?

Answer 1

En primer lugar, debe comprobar que este proceso se mantiene dentro de $\{1...99\}$ . En cada etapa la función iterada $f$ añade un número entre $0$ y $9$ Así que para tener $f(x)>99$ necesitaríamos $x>90$ . Pero para $x>90$ El dígito de la unidad es siempre más pequeño, por lo que siempre se está añadiendo un valor negativo. Del mismo modo, para tener $f(x)<1$ necesitaríamos $x<10$ pero entonces el dígito de las unidades es siempre mayor, por lo que siempre se añade un valor positivo.

Así que, como siempre nos quedamos dentro de ese conjunto finito, debemos conseguir una repetición eventualmente. En cuanto eso ocurra, entraremos en un ciclo. Sólo tenemos que comprobar que el que describes en tu pregunta es el único. Esto se puede comprobar explícitamente haciendo que un ordenador calcule $f(x)$ para $1\leq x\leq 100$ :

Imagen más grande . Siento el desorden del gráfico, no he podido encontrar un buen programa para trazarlo.

Dudo un poco que haya una prueba más profunda que esa. Es un mapeo bastante arbitrario por lo que veo. El hecho de que eventualmente se repita es algo común a todos los mapeos de un conjunto finito a sí mismo. Algunos de esos mapeos tienen $3$ ciclos. Algunos tienen $18$ . Este resultó tener $1$ . Claro, por qué no. O, para decirlo de otra manera, la característica no trivial de su función es que mapea $\{1, ... 99\}$ en sí mismo, y el ciclo es sólo un corolario de eso.

Lo que sí me parece interesante es la simetría del gráfico anterior. Podría explicarse si pudiéramos demostrarlo:

$$f(99 - x) = 99 - f(x)$$

Es decir, la involución $x\to99-x$ es un automorfismo para este sistema (no estoy seguro de si la palabra "automorfismo" se utiliza realmente en este contexto, pero si no es así, es ciertamente un automorfismo del gráfico dirigido anterior). Esto se debe a que esta involución tiene el efecto de sustituir cada dígito de un número de dos cifras por $9$ menos ella misma, por lo que $10x+y$ se asigna a $10(9 - x) + (9 - y)$ . Así que la diferencia entre los dos dígitos cambia de $y-x$ a $(9-y)-(9-x)=x-y$ es decir, se multiplica por $-1$ . Así que si $x$ es un número de dos cifras y $f(x)=x+d$ tenemos:

$$99-f(x)=99-(x+d)=(99-x)-d=f(99-x)$$

Answer 2

He aquí algunas reflexiones que permiten entender lo que ocurre sin necesidad de hacer muchos cálculos.

En primer lugar, su transformación es compatible con la reducción modulo $~11$ para lo cual da la operación de multiplicación por $~2$ como uno tiene $10x+y\equiv y-x\mapsto10x+y+(y-x)\equiv2(y-x)$ . Ya que prohibió los múltiplos de $~11$ y $2$ resulta ser un generador del grupo multiplicativo $(\Bbb Z/11\Bbb Z)^\times$ todos los valores dan el mismo ciclo de repetición de $~10$ clases de congruencia no nulas módulo $~11$ , comenzó en diferentes puntos.

Para entender el comportamiento preciso, consideremos un conjunto de $10$ valores sucesivos $\{11n-10,\ldots,11n-1\}$ para un fijo $0<n<10$ . La cantidad añadida a estas cifras aumenta pasando de $11n-10$ hasta $10n-1$ , luego baja (por $~10$ ) para $10n$ después de lo cual aumenta al continuar $11n-1$ . Por lo tanto, si cualquier número de este conjunto se asigna a un número mayor que cualquiera del conjunto, entonces ciertamente sucede que $10n-1$ y si cualquier número de este conjunto corresponde a un número menor que cualquiera del conjunto, entonces ciertamente sucede que $~10n$ . Pero lo primero ocurre siempre que $10n-1+(9-(n-1))>11n-1$ lo que equivale a $n<5$ mientras que la segunda ocurre siempre que $10n+(0-n)<11n-10$ lo que equivale a $n>5$ . En particular, ambas condiciones son mutuamente excluyentes, y una de ellas ocurre (el conjunto se "filtra" hacia arriba o hacia abajo) a menos que $n=5$ . Ahora está claro que para $n=5$ se obtiene el único conjunto no vacío de números permitidos que se mapea biyectivamente a sí mismo, y es por tanto el único ciclo final posible.