Inexistencia de un surjection $\aleph_n \to \aleph_{n+1}$, sin el axioma de elección

Question

En primer lugar, vamos a establecer exactamente lo que quiero decir con estos símbolos. Deje $\omega_0 = \{ 0, 1, 2, \ldots \}$ donde $0, 1, 2, \ldots$ son los habituales de von Neumann representaciones de los números naturales. Deje $n$ ser un finito número natural. Para cada una de las $n$, definir $\omega_{n+1} = \sup S$ donde $S$ la imagen del conjunto $R$ bajo la función de asignación de clase bien los pedidos a sus von Neumann ordinal, y $R \subset \mathcal{P}(\omega_n \times \omega_n)$ es el conjunto de todas las órdenes en $\omega_n$. Definimos $\aleph_n = \omega_n$.

A menos que me equivoco, con esto se establece la existencia de $\omega_n$ todos los $n \in \mathbb{N}$ como se establece en virtud de los axiomas de ZF. Es sencillo ver que no hay inyección de $\omega_{n+1} \to \omega_n$, como establecería (a través de pullback) que $|\omega_{n+1}| \le \aleph_n$, y esto es una contradicción, como $\omega_{n+1}$ es estrictamente mayor que todos los números ordinales en $S$. Esto a su vez implica, por el axioma de elección, que no hay surjection $\omega_n \to \omega_{n+1}$, y la conclusión de que no hay surjection $\aleph_n \to \aleph_{n+1}$ sigue.

Mi pregunta es: se Puede hacer esto, usando mi definiciones anteriormente, sin el axioma de elección? Estoy dispuesto a aceptar razonable definiciones alternativas, siempre que no se representan la conclusión tautológica.

(Este es un auto-impuesta de extensión para una tarea problema: debo etiqueta con la tarea?)

Answer 1

Has hecho un gran lío, creo. La forma en que se definen los números cardinales es muy torpe, por así decirlo. En mis ojos, de todos modos.

Vamos a repasar la construcción de los números ordinales:

1. $0 = \emptyset$
2. $\alpha+1 = \alpha \cup \{\alpha\}$
3. En el límite de las etapas, $\delta = \bigcup_{\beta<\delta} \beta$

Ahora vamos a definir inicial ordinales como los números ordinales que no puede ser bijected con cualquier menor ordinal. Por ejemplo, $\omega$ (el conjunto de los números naturales) es ordinal, mientras que $\omega+1, \omega+\omega, \omega\cdot\omega$ son no inicial de los números ordinales.

Bajo el axioma de elección, cada conjunto está bien disponible, y por lo tanto podemos elegir la inicial ordinal de cada clase de equivalencia como un representante. Esta es la noción usual de $\aleph$ números bajo el axioma de elección.

Sin asumir elección, el cardenal sistema no está bien ordenada y pueden comportarse de manera muy extraña.

Independientemente de que, cuando sólo se ocupan de los números ordinales usted no necesita elección porque hay un canónica de la función de elección (toma el mínimo elemento). Así que incluso sin el axioma de elección es cierto que $\omega_\alpha$ no tiene bijection con $\omega_\beta$$\alpha\not=\beta$.

La idea detrás de aleph números, tal y como yo lo veo, es que se trata de un pedido de cardinalidades (no necesariamente todas las cardinalidades, aunque) y, como tal, se mantiene igual de bien, incluso cuando no asumiendo elección. Sin embargo, en el caso de no tener el axioma de elección para ayudarle a salir, $2^{\aleph_0}$ podría no ser bien disponible y por lo tanto no será representado por un ordinal, y por lo tanto no ser representado por un $\aleph$ número, la misma con la multiplicación. Es equivalente al axioma de elección que para cada conjunto infinito $|X| = |X\times X|$.

Justo último comentario, usted dijo que la construcción se dio deduce la existencia de $\aleph_n$ para cada número natural $n$, mientras que en realidad se le da $\aleph_\alpha$ para cada ordinal $\alpha$ y no sólo para los números naturales.