Búsqueda de un límite usando cambio de variable - ¿cómo funciona?

Question

Soy un estudiante que acaba de empezar cálculo en la universidad, y mis habilidades matemáticas son bastante obsoletos.

Así que... ¿cómo encontrar los límites de uso de cambio de variable funciona?

Por ejemplo: $$\lim_{x \to 1}\frac{x\cos(x-1) -1}{x-1}$$

Una manera de resolver esto es inventar "out of thin air" $t = x-1$, y, a continuación, el límite anterior es igual a: $$\lim_{t \to 0}\frac{(t + 1)\cos(t) - 1}{t}$$

¿Cómo funciona esto?
Un límite no es una ecuación algebraica. ¿qué acerca de los dominios de definición? En realidad estamos encontrando diferentes límite de una función diferente en un lugar diferente, ¿cómo es que ellos son iguales (en general)?

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solo para aclarar, no estoy preguntando acerca de este ejemplo concreto. Estoy preguntando en general, cuando se puede hacer esto para encontrar los límites? cuando no? y ¿por qué?

Answer 1

No es un resultado general que garantiza tales sustituciones. Deje $\lim\limits_{x \to a}f(x) = L$ existen y deje $\lim\limits_{t \to b}g(t) = a$ existen y también asumir que $g(t) \neq a$ al $t$ es en un determinado barrio de $b$ entonces $\lim_{t \to b}f(g(t)) = L$.

Por favor, comprenda que el teorema es válido únicamente bajo las condiciones dadas en el resultado anterior y una de las primeras condiciones es que el $\lim_{x \to a}f(x)$ existe. Si no sabemos de antemano si el límite de $f(x)$ existe, entonces ¿cómo podemos hacer una sustitución de $x = g(t)$ (en esta pregunta nos pusieron $x = t + 1$)?

Para responder a esto tenemos que entender que la sustitución de $x = g(t)$ ($x = t + 1$) se utiliza aquí es invertible, por lo que tenemos una relación inversa entre la sustitución $t = h(x)$ ($t = x - 1$) con $x = g(h(x)), t = h(g(t))$, lo que nos permitirá inferir la existencia de límite de $\lim_{x \to a}f(x)$ sobre la base de la existencia de límite de $\lim_{t \to b}f(g(t))$ mediante el teorema dado en el comienzo de este post.

Otra condición que es muy, muy importante es asegurarse de que $g(t) \neq a$ al $t$ es cerca de $b$. Es evidente que esto tiene en la sustitución de las utilizadas en la presente pregunta al$x = t + 1$$a = 1, b = 0$.

Si pensamos profundamente vamos a encontrar que si $g(t)$ es invertible en el barrio de $t = b$, entonces automáticamente se asegurará de que $g(t) \neq a$ en un determinado barrio de $b$. En la práctica, se utiliza el siguiente resultado:

Si $x = g(t)$ es una función invertible con inverse $t = h(x)$ en el borrado del barrio de $t = b$$\lim\limits_{t \to b}g(t) = a, \lim\limits_{x \to a}h(x) = b$, tanto de los límites de $\lim\limits_{x \to a}f(x)$ $\lim\limits_{t \to b}f(g(t))$ existen y son iguales o ambos de ellos no existen.

Tenga en cuenta que no hay ninguna condición en $f$ por el teorema anterior.

Answer 2

Funciona porque la igualdad se tiene: $$ {x\cos(x-1)-1\sobre x-1}={(t+1)\cos(t)-1\sobre t} \quad \text{donde }t=x-1.\la etiqueta{1} $$ Esto no es diferente de la reescritura de $2+2$ o $3+1$ o $7-3$ cada vez que usted vea un $4$. Son sólo diferentes maneras a la misma la misma cosa.

Ahora, ya que en el problema original, tuvimos $x\to 1$, luego en la nueva variable tenemos $t=x-1\to 1-1=0$, es decir, $t\to 0$. Por lo tanto, $(1)$ se convierte en $$ \lim_{x\to 1}{x\cos(x-1)-1\sobre x-1}=\lim_{t\to 0}{(t+1)\cos(t)-1\sobre t}.\la etiqueta{2} $$

Usted dijo que los límites no son una ecuación algebraica---eso es correcto. Pero son una "operación" que se puede aplicar a ambos lados de una ecuación existente, tales como $(1)$ y mantener la igualdad como en la $(2)$.

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Edición basada en los comentarios:

Supongamos que usted tiene la expresión algebraica $f(x)$ y hacer el cambio de variables $x=g(t)$. Entonces $$f(x)=f(g(t)).\tag{3}$$ Esta es una versión generalizada del tipo de instrucción en $(1)$.

Por otra parte, si $g$ es una función continua, a continuación,$x\to a\implies g(t)\to a$, pero luego de $(3)$ vemos $$ \lim_{x\a}f(x)=\lim_{g(t)\a}f(g(t)). $$ que es una versión generalizada de $(2)$.

Answer 3

La razón de que un cambio de variables, es dos veces. Como JohnD mencionado, está parcialmente por sustitución directa. Sin embargo, también se debe tomar en cuenta el hecho de que el cambio de variables se define por una función continua. Son funciones continuas (en esta configuración) libremente hablando, las funciones que juegan muy bien con los límites.

Answer 4

Si existe un límite de una función, puede definir su función continua allí. Y luego si haces un continuo cambio de variable, que continuidad conserva el límite, por ejemplo, $\lim_{x \to 1}$ es lo mismo que $\lim_{t \to 0}$.