Conversión entre multiplicación de la matriz y la contracción del tensor

Question

Si he a$A^{\alpha \beta} B_{\beta \gamma}$, entonces este debe ser el equivalente a la siguiente multiplicación de la matriz: $AB$ ya que estamos sumando sobre las columnas de a $A$ y las filas de $B$. Por la misma lógica, si he a $A^{\alpha \beta} B_{\gamma \alpha}$ esto es $BA$ en notación matricial. Pero lo que si me estaba haciendo $A^{\alpha \beta} B_{\alpha \gamma}$? Tendría que ser equivalente a $A^{T}B$ o $B^T A$ en notación matricial o algo completamente distinto? Además, ¿qué sería de mi índice de notación aspecto de la resultante? Tendría que ser algo como $C^{\beta}_{\gamma},$ o un índice de más a la izquierda que el otro?

Answer 1

Lema: las Matrices son una herramienta para calcular sumas; tensores de decirle que resume sentido.

Al convertir entre el rango de 2 tensores y matrices, la decisión en cuanto a que el índice del tensor de las etiquetas de las filas y que una de las etiquetas de las columnas es puramente convencional. La multiplicación de matrices no es más que una manera conveniente de escribir los productos de la forma

$$K(i,k) = \sum\nolimits_j M(i,j)N(j,k),$$

donde he conciously obliga a abstenerse de utilizar los índices de la etiqueta elementos de la matriz; en cambio, el primer argumento de las etiquetas de las filas y el segundo las etiquetas de las columnas.

Por ejemplo, Imagine que desea calcular la contracción $A^{ij} B_{jk}$. Definir la matriz $M$$M(i,j) = A^{ij}$, la matriz $N$ $N(j,k) = B_{jk}$ y la matriz$K$$K(i,k) = A^{ij}B_{jk}$. A continuación, coincide con las definiciones del tensor de la contracción* y la multiplicación de la matriz a ver que $$K = MN.$$ Do the multiplication and read off the components of the contraction using the definition of $K$.

Ahora definir $\tilde M(j,i) = A^{ij}$, $\tilde N(j,k) = B_{ij}$, $\tilde K(k,i) = A^{ij}B_{jk}$. Los componentes de la contracción que desea y los tensores usted sabe todavía son todos los que figuran en $\tilde K$, $\tilde M$ y $\tilde N$, pero de manera diferente. La coincidencia de las definiciones de la multiplicación y de la contracción (y transporte), ahora de nuevo da $$\tilde K^T = \tilde M^T\tilde N\quad\text{or, equivalently,}\quad\tilde K = \tilde N^T\tilde M.$$

Mira todo esto de nuevo. Calcula el mismo tensor de la contracción, dos veces, el uso de diferentes productos de diferentes matrices. (Por supuesto, en el hecho de $\tilde M = M^T$, $\tilde N = N$ y $\tilde K = K^T$.) En realidad, usted podría ahorrar letras, así que mi $M$ también sería llamado $A$, pero esto no es más que un abuso de notación. Haciendo la suma es de todos los productos de matriz son buenas. El significado de las sumas que han de obtenerse de otros lugares, generalmente a partir del tensor de contracciones que representan. Una "matriz" no es un objeto geométrico (y por lo tanto no puede ser un objeto físico).

Por otro lado, un tensor es un objeto geométrico. No voy a intentar describir lo tensores realmente son (a menos que usted lo pide en los comentarios), pero como aperitivo, pruebe a contemplar la diferencia entre

• vectores $u, v\in V$ y con valores escalares de las funciones lineales $\phi, \psi : V\to\mathbf R$, dado que el $\phi(u)$ $\psi(v)$ tener sentido sino $u(v)$ $\phi(\psi)$ no; ahora recuerdo que cosas como $\phi_iu^i$ están bien definidos, pero aquellos que, como $u^iv^i$ no;
• lineal mapas de $A, B : V\to V$ como rotaciones y bilineal funciones de $f, g : V\times V\to\mathbf R$, dado que el $A(u)$ es un vector, $f(u,v)$ es un escalar, $A\circ B$ es lineal en el mapa, sino $A(u,v)$ $f\circ g$ son de sentido; ahora, recuerde que usted puede contratar $A^i_ju^j$, $f_{ij}u^iv^j$ y $A^i_jB^j_k$ (y mira en el acuerdo de libre índices) pero ni $A^i_ju^iv^j$ ni $f_{ij}g_{jk}$.

^{* Espero que tu tensores y sus contracciones son definidos en el physicicts' tradición como las colecciones de coordenadas con incomprensible propiedades de la participación de grandes sumas. Esta definición es, decididamente, no es el más fácil de comprender uno; trate de buscar o preguntar en MathOverflow para el uso de propiedades universales.}

Answer 2

Como @AccidentalFourierTransform dijo, es un error intentar pensar de los tensores como matrices, como usted rápidamente terminan volviendo loca cuando usted necesita para calcular los $A^{\alpha\beta\gamma\delta}B_{\beta\delta}$ o algo así. Que dice $A^{\alpha\beta}B_{\alpha\gamma}$ 'se parece a' $A^TB$.

La forma correcta de pensar de los tensores es como multilineal funciones, porque eso es lo que son, de hecho. En el índice de la notación de cada índice, a continuación, corresponde a una ranura en la función. Así que un $(2,2)$ tensor $T$ es una función de $T(\_,\_;\_,\_)$ donde los dos primeros argumentos quiera de las formas y el segundo de dos vectores. Este, a continuación, se indica cómo escribir los índices de los componentes: no uno encima de otro, pero en el orden de los argumentos, por lo $T^{\alpha\beta}{}_{\gamma\delta}$, y no $T^{\alpha\beta}_{\gamma\delta}$, que es ambiguo en cuanto a argumento de orden.

Es muy importante recordar que los tensores son funciones multilineales, porque si no, se le caen inevitablemente en el terrible pozo de índice-gimnasia y ser clavado en la envenenados picos de contravarianza y covarianza, de la que sólo algunos de escape. Recuerde que no es la geometría, no sólo los índices y las reglas de transformación.

Una forma de evitar esta trampa, mientras que todavía siendo capaz de trabajar en una notación conveniente es el uso de la Penrose resumen-índice de notación. Lo más conveniente es que usted no tiene que cambiar nada para usarlo, aunque es posible que desee cambiar los símbolos de elegir los índices de.

Answer 3

Como matemático, me gustaría señalar los siguientes aspectos técnicos:

Lo que (se puede representar como una matriz son los tensores con un índice y un índice de abajo, que es de los elementos de $V\otimes V^*$ (donde $V$ es un espacio vectorial, o un vector paquete de más de un colector). Un tensor con dos índices es una forma bilineal en $V$, y uno con dos índices de abajo de una forma bilineal en $V^*$, y por lo tanto no hay ninguna (natural) forma de contratación, y que es donde la métrica entra en juego: se utiliza para convertir una forma bilineal en un mapa de $V\to V$ (es decir, un elemento de $V\otimes V^*$) o $V^*\to V^*$. Simpléctica formas pueden tener funciones similares en diferentes situaciones.

Por supuesto, si usted tiene dos tensores $A^\mu_\nu,B^\eta_\theta$, que puede ser representada como matrices de $A,B$ al corregir la base de su espacio vectorial, entonces la contracción $A^\mu_iB^i_\nu$ es representado por la multiplicación de la matriz $AB$.