El producto escalar de dos vectores.

Question

(Lo siento por mis conocimientos muy básicos, no sé mucho sobre matemáticas :)).

Entiendo Cómo calcular el producto escalar de los vectores. Pero realmente no entiendo lo que es un producto de punto y por qué que es necesario.

¿Podría usted responder a estas preguntas? Gracias

Answer 1

Dot productos son muy geométricas de los objetos. En realidad codificar la información relativa a los vectores, específicamente nos dicen "cuánto" un vector en la dirección de otro. En particular, el producto escalar nos puede decir si dos vectores son (anti)en paralelo o si son perpendiculares. Tenemos la fórmula $\vec{a}\cdot\vec{b} = \lVert \vec{a}\rVert\lVert \vec{b}\rVert\cos(\theta)$ donde $\theta$ es el ángulo entre los dos vectores en el plano que ellos hacen. Si son perpendiculares, $\theta = 90^{\circ}, 270^{\circ}$, de modo que $\cos(\theta) = 0$. Esto nos dice que el producto escalar es cero. Este razonamiento funciona en la dirección opuesta: si el producto escalar es cero, los vectores son perpendiculares. Esto nos da una manera rápida de saber si dos vectores son perpendiculares. También ofrece maneras fáciles de hacer proyecciones y similares. Espero que esto aclare un poco las cosas.

Answer 2

Esa es una pregunta enorme. Es lo que denomina un producto interno. Una buena respuesta corta es que le da una manera de hacer sentido de lo que un ángulo entre dos vectores es. $$\theta = \cos^{-1}\left( \frac{a\cdot b }{|a||b|} \right)$$

Answer 3

En general espacios vectoriales puede definir la longitud de un vector por la inducción de la norma a través de $$\|x\| = \sqrt{x\cdot x}$$

esto es posible debido a que el producto escalar es positiva definida y por lo tanto $x\cdot x$ es no-negativa.

Incluso es posible definir un ángulo entre los vectores de esta manera por

$$\phi = arccos \frac{x\cdot y}{\sqrt{x\cdot x}\cdot\sqrt{y \cdot y}} $$

también dos vectores son ortogonales si su producto interior es cero, es decir,

$$ x \perp y \Longleftrightarrow x\cdot y = 0$$

Tenga en cuenta que este es possbile para cada espacio vectorial que tiene un producto interior (producto escalar)

---

Una más especial de ejemplo podría ser: Tomar el espacio vectorial de la continua de las funciones en el intervalo de $\left[-1,1\right]$ con el producto interior definido por $\int_{-1}^1 f(x)g(x) dx$, entonces las funciones de $f(x)=x$ $g(x)=x^2$ son ortogonales, porque $$ \int_{-1}^{1}x\cdot x^2 dx = \int_{-1}^{1} x^3 dx = 0$$

Y la longitud de $f$ sería

$$\left\|f\right\| = \sqrt{\int_{-1}^{1}x\cdot x\, dx } = \sqrt{\frac{2}{3}}$$

Answer 4

Si la longitud de $B$ $1$ $\langle A,B\rangle$ es la coordenada de $A$ $B$ de la dirección.

Hay una interpretación agradable del producto escalar donde $B$ tiene longitud arbitraria. Deje que $B=(b_1,b_2)$, luego definir $J(B):=(-b_2,b_1)$; obtendrá $J(B)$ $B$ $\pi/2$ en sentido contrario de rotación. Observe que $$\langle A, B\rangle=\det\bigl(A,J(B)\bigr),$ $ que es: el producto de punto es el área (orientación) del paralelogramo atravesado por $A$ y $J(B)$.