¿Es la energía electrostática positiva definida?

Question

Esta es una pregunta de física, pero su naturaleza es puramente matemática. Dado alguna distribución continua de carga $\rho$ (toma compacto apoyó, o "lo suficientemente agradable" dependiendo del problema que se está tratando), definimos la energía electrostática como:

$$E[\rho]=\frac{1}{8\pi}\int d^3x\int d^3y \frac{\rho(\vec{x})\rho(\vec{y})}{|\vec{x}-\vec{y}|}$$

¿Es definida positiva? ¿Cómo mostrarlo?

Answer 1

Una de las integraciones puede ser considerada como una convolución de que los rendimientos de los potenciales:

$$ E[\rho]=\frac1{8\pi}\int\mathrm d^3x\rho(\vec x)V(\vec x) $$

con

$$ V(\vec x)=\int\mathrm d^3y\frac{\rho(\vec y)}{|\vec x-\vec y|}\;. $$

Esto es $V=\rho*\dfrac1r$, donde el asterisco denota la convolución. Una convolución en el espacio real corresponde a la multiplicación en el espacio de Fourier, por lo $\mathcal F(V)=\mathcal F(\rho)\mathcal F(1/r)$ donde $\mathcal F(\cdot)$ denota la transformada de Fourier. Puesto que la transformada de Fourier es unitaria, tenemos, con la transformada de Fourier $\mathcal F(1/r)=4\pi/k^2$ del potencial de Coulomb,

$$ \begin{align} E[\rho] &= \frac1{8\pi}\int\mathrm d^3x\rho(\vec x)V(\vec x) \\ &= \frac1{8\pi}\int\mathrm d^3k\mathcal F(\rho)(\vec k)\mathcal F(V)(\vec k) \\ &= \frac1{8\pi}\int\mathrm d^3k\mathcal F(\rho)(\vec k)\mathcal F(\rho)(\vec k)\mathcal F (1/r)(\vec k) \\ &= \frac12\int\mathrm d^3k\left(\mathcal F(\rho)(\vec k)\right)^2\frac1{k^2}\;, \end{align} $$

que es manifiestamente positiva definida.