Posibles Duplicados:
La Comprensión intuitiva de la constante "e"Digamos que usted quiere explicar esto a su hijo adolescente. Entiendo que la definición técnica de $e$
$$ e=\lim_{n\to\infty}\left( 1 + \frac1n \right)^n $$
Pero, no quiero perderme en la técnica balbucear. Mientras que los ejemplos concretos son bienvenidos, también quiero entender el panorama general. Primero quiero saber el significado general de por qué y cuando se utiliza. Alguien tiene un link? Hay un típico "patrón" que modelos? En qué tipo de situaciones hace "e" surgir?
Sólo sé e a partir de la clásica continua capitalización ejemplo. Pero, ¿por qué aparecen en otras aplicaciones de crecimiento, la ciencia, etc? Son todos estos ejemplos que acabo de variaciones sobre este mismo límite que define e? Esta cada vez más el intervalo cuando se aplica un infinitamente pequeño porcentaje de crecimiento (1 + 1/n) pero infinitamente muchas veces (a la potencia de n)
- La Comprensión intuitiva de la constante "$e$" (5 respuestas )
Respuestas
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También hay una diferencia entre un interés en la comprensión de
la constante matemática "$e$", que es un irracional, trascendental número, pero el número real, tal como es el $\pi$, pero un número, no obstante, que pasa a ser el valor de su límite, y pasa a ser el valor de la infinita suma $$e = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}$$Y más: $$e^x = \sum_{n=0}^\infty{x^n \over n!} = 1 + x + {x^2\over2!}+{x^3\over3!}+{x^4\over4!}+\cdots$$ vs
funciones exponenciales (base $e$: (por ejemplo, $f(x) = e^x$ o $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$), las funciones para las cuales parece que se refieren cuando hablan de su uso en la representación de crecimiento exponencial, y otras aplicaciones que surgen en todas partes, por lo que parece. Sin duda, las funciones que implican $e$ nos dicen algo acerca de la $e$, pero no nos dicen mucho más que eso.
Es decir, la importancia de $e$ sí no es tanto por su significado como un determinado número real, pero su importancia como base para las funciones exponenciales, y en términos de las formas en que las funciones que implican $e$ como base aparecen en formas sorprendentes, son poderosos, y tienen aplicaciones en muchos campos.
Así que es difícil saber exactamente lo que usted está interesado en: el número de $e$, o las muchas funciones que implican $e$.
No es una tarea fácil (el adolescente).
Cualquier sistema en el que la tasa de cambio de una cantidad que es proporcional a la cantidad de la cantidad de soluciones que involucran a las exponenciales. Esto es cierto para la continua así como sistemas discretos. Las reacciones químicas, el comportamiento de los circuitos electrónicos, sistemas físicos, etc, son a menudo bien aproximada por dichos sistemas.
Si usted diferenciar una función exponencial, hacerse veces una constante: $$ \frac{d}{dx} 2^x = \left(\text{constante}\cdot 2^x\right). $$ En otras palabras, la función crece a una tasa proporcional a su tamaño actual.
Sólo si la base de la función exponencial es $e$ es la "constante" de igual a $1$, de modo que usted consiga $$ \frac{d}{dx} e^x = 1\cdot e^x. $$ En otras palabras, la función crece a una tasa igual a su tamaño actual.
Es la misma que la razón por la que radianes se utilizan en el cálculo. Usted tiene $$ \frac{d}{dx} \sin x = (\text{constante}\cdot\cos x). $$ Si usted grados, la "constante" es $\pi/180$. Si utiliza radianes, la "constante" es $1$, pero sólo si se utilizan radianes.
Hay más en la historia que. Por ejemplo, ¿cómo es la distribución de Poisson surgir como el límite de distribuciones binomiales? Pero lo anterior debe mostrar en qué sentido la $e$ es "natural", y en qué sentido radianes son "naturales".
Me discernir tres aspectos, a la pregunta: ¿por Qué son las funciones exponenciales $b^x$ importante? ¿Por qué son las funciones logarítmicas $\log_b x$ importante? Y suponiendo que los dos primeros, que la base es la mejor (¿en qué sentido?) y ¿por qué es $e$?
Supongo que tu pregunta es el último y el mejor de los motivos tienen que ver con el cálculo. Cualquier función exponencial se puede convertir a cualquier otra base: $b^x = a^{x \log_a(b)}$. Y cualquier función logarítmica se puede convertir a cualquier otra base: $\log_b(x) = \log_a(x)/\log_a(b)$. Así que ¿por qué escoger a $b=e$?
@MichaelHardy señala que la derivada de $e^x$$e^x$. Del mismo modo la derivada de una función logarítmica es una constante dividido por $x$. Para$\log_e(x)$, la constante es $1$, la más simple posible. (Por lo tanto, para ser claros, la derivada de $\log_e(x)$$1/x$.) Esto hace que la base de la $e$ conveniente para ambos exponenciales y funciones logarítmicas.
Muchas otras fórmulas de exponenciales y funciones logarítmicas son más sencillas, cuando la base es $e$. Usted ya ha señalado el límite $$e=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1 + {1\over n}\right)^n\,$$ Comparar la serie de $2^x$ con la serie de $e^x$: $$e^x = \sum_{n=0}^\infty{x^n \over n!} = 1 + x + {x^2\over2!}+{x^3\over3!}+{x^4\over4!}+\cdots$$ Del mismo modo, $$\log_e(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}n(x^{1/n}-1)$$ y comparar la serie de $\log_2 (1+x)$con $$\log_e(1+x) = \sum_{n=1}^\infty{(-1)^{n-1}x^n \over n}=x-{x^2\over2}+{x^3\over3}-{x^4\over4}+\cdots$$ Básicamente se podría decir que la importancia de la $e$ viene de la constante de Michael Hardy se refiere a -- usted podría pensar en él como un "factor de corrección" pienso, o mejor como un "factor de fastidio" -- que la constante es $1$ de la base de la $e$, lo cual es muy conveniente cuando se trabaja con las cosas.
El resto de su importancia deriva de la importancia de exponenciales y logarítmicas funciones en general.
(Si el adolescente no puede apreciar el cálculo pero, bueno, tal vez se puede apreciar la razón por la que es más fácil en los casos que importan más. Y si no, entonces tal vez aconsejar paciencia - "vas a entender cuando seas mayor." :) No es un mal consejo, la verdad. La cosa que me molesta es lo que era tan importante acerca de la $\log_{10}$? Bueno, es la manera más fácil de registro. para entender al principio, pero no es importante más adelante.)
Teniendo en cuenta las funciones de la forma$f(x)=a\,b^x$$b>0$, siempre tendremos un valor inicial de $a$. Sólo con la base de $b=e$ vamos también tienen una tasa de cambio igual a $a$.
Demostrar esto con las fotos: 
(Esta imagen es de apuntes de clase I am a través de la coautoría.) Aún mejor sería un applet de GeoGebra modelado después de que imágenes como estas, donde $a$ $b$ son manipulables.
