cuántas número como $119$

Question

Cuántos de 3 dígitos de número de esta propiedad como $119$:

$119$ dividido por $2$ el resto es $1$

119 dividido por $3$ el remainderis $2 $

$119$ dividido por $4$ el resto es $3$

$119$ dividido por $5$ el resto es $4$

$119$ dividido por $6$ el resto es $5$

Answer 1

Observar que $119$ deja resto $n-1$ cuando se divide por $n$ donde $2\le n\le 6$

Por eso, $119+1$ es divisible por $n$ $2\le n\le 6$

Así, tenemos los números de la forma $\operatorname{lcm}(2,3,4,5,6)m-1=60m-1$ donde $m$ es cualquier entero positivo.

Como el número requerido es de tres dígitos $100\le 60m-1\le 999\implies 2\le m\le 16$

Por lo tanto, hay $16-2+1=15$ a dichos números.

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$x \equiv 1 \mod 2 \\ x \equiv 2 \mod 3 \\ x \equiv 3 \mod 4 \\ x \equiv 4 \mod 5 \\ x \equiv 5 \mod 6$$

es equivalente a

$$x \equiv -1 \mod 2 \\ x \equiv -1 \mod 3 \\ x \equiv -1 \mod 4 \\ x \equiv -1 \mod 5 \\ x \equiv -1 \mod 6$$

Y por el Teorema del Resto Chino, la solución a este último se puede encontrar fácilmente a ser $x \equiv -1 \mod{\mathrm{lcm}(2,3,4,5,6)}$ o $x \equiv -1 \mod 60$.

Así que acaba de contar el número de $3$-números de dos dígitos $x$ satisfacción $x \equiv -1 \mod 60$.

Answer 3

Ejercicios:

Trate de dividir a $420 - 1$ por enteros $2, 3, ..., 7$ y la nota de los respectivos restos se $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

A continuación, tenga en cuenta que $420 = \textrm{lcm}\,(2, 3, 4, 5, 6, 7)$

Cualquier $n = k\cdot 420 - 1$, $k\in \mathbb{Z}$, dará el mismo resto cuando se divide por $2, 3, ..., 7$.

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Trate de dividir a $840 - 1 = 839\,$ por $\,2,\, 3, \,4, \,5, \,6, \,7,\,8\,$ $\implies$ respectivos restos de $\;$...?...

A continuación, tenga en cuenta que $840 = \textrm{lcm}\,(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)$.

De modo que la misma respectivos restos que se obtienen, cuando $k\cdot 840 - 1$ se divide por cada uno de $\{2, 3, ..., 8\}$.

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Ahora: ¿\s el menor número positivo, que cuando se divide por cada uno de $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ da correspondientes resto de $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$?

Encontrar el $\text{lcm}\,(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} = 2^3\cdot 3^2\cdot 5 \cdot 7 = 840\cdot 3 = 2520.\;$

Restar $1:\;\;$ $2520 - 1 = 2519 = n_9$.

Prueba dividiendo $n_9$ por cada una de las $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$, para confirmar...

Hay que ir.

Answer 4

Buscar números que, cuando se divide por $k$ ( $k=2,3,4,5,6$ ) da un resto de $k-1$. Por lo tanto los números que buscamos son, precisamente, los que son uno menos que un múltiplo de $k$ para cada uno de estos valores de $k$. Para encontrar todos los números, considere el mínimo común múltiplo de $2$, $3$, $4$, $5$ y $6$, y contar cuántos múltiplos de este tienen tres dígitos.

Answer 5

Una solución de fuerza bruta en python:

    >>> def check_remainders(three_digit_number):
    ...     return all(three_digit_number % n == n -1
    ...         for n in (2, 3, 4, 5, 6))
    ...
    >>> # Filter a list of all 3-digit numbers with the above function
    ... all_numbers = filter(check_remainders, range(100, 1000))
    >>> print(all_numbers)
    [119, 179, 239, 299, 359, 419, 479, 539, 599, 659, 719, 779, 839, 899, 959]
    >>>
    >>> # "Try adding multiples of 60 to 119", Gerry Myerson said.
    ... [119 + (i * 60) for i in range(15)]
    [119, 179, 239, 299, 359, 419, 479, 539, 599, 659, 719, 779, 839, 899, 959]
    >>>
    >>> # so how many numbers like these are there?
    ... print(len(all_numbers))
    15