Más "conceptual" razón de por qué $\int_{-\infty}^{+\infty}\text{sin}(x^2) = \int_{-\infty}^{+\infty}\text{cos}(x^2)$

Question

En nuestro complejo curso de análisis, como una aplicación del teorema de los residuos y algunos astutos contorno de la integración, se calcula las siguientes integrales:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\text{sin}(x^2)\,\mathrm{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$$ Y $$\int_{-\infty}^{\infty}\text{cos}(x^2)\,\mathrm{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$$

He observado que estos dos valores son iguales (no muy fuera de lo común de observación). Sin embargo, me preguntaba si podríamos deducir este resultado (es decir, el hecho de que son iguales) sin llegar a la informática.

El cálculo que hemos hecho no esta claro del todo. Que acaba de pasar a ser una consecuencia de nuestros cálculos. Así que no conozco a nadie más conceptual razón?

No estoy seguro de si este existe o debe existir, pero yo tenía la siguiente (más trivial) ejemplo en mente: $$ \int_{0}^{\pi/2} \sin{x} \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{\pi/2} \cos{x} \,\mathrm{d}x $$ Que puede ser comprobada mediante el uso de una sustitución de $u = \pi/2-x$ y el hecho de que $\text{sin}(\pi/2-x) = \cos{x}$

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Para la compleja $a$ definir $T_{a^2} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-a^2 x^2) dx$ . Su pregunta es ¿por qué el complexified integral de Fresnel $T_\sqrt{i} = \sqrt{i}$ puntos a lo largo de la línea de Re(z)=Im(z). Estándar de Gauss es $T_1=1$.

${T_a}/a$ es lo mismo que $T_1$, con una deformación del contorno girando el eje de la integración a la línea de $(-a\infty,a \infty)$. Para $a^2$ con el positivo de la parte real de esta deformación no cambia la integral. La integral de Fresnel es el límite en el caso de $a=\sqrt{i}$ donde la parte real es de $0$, por lo que hay preguntas de convergencia de los tratados, pero aparte de que la respuesta $T_a = a$ debe continuar analíticamente a $a=\sqrt{i}$. La dificultad está haciendo este riguroso es en la justificación de la convergencia de la integral del límite esperado como $a$ enfoques del punto de interés, pero no en la comprensión de lo que el límite debería ser (que tiene la misma parte real e imaginaria).