Si $x =a (1+i) + b(1-i)$ y $y = c (1+i) + d(1-i)$ con $a,b,c,d$ real, las partes real e imaginaria de la ecuación $x^2 + y^2 = 1$ diga $ab + cd = 1$ y $a^2 + c^2 = b^2 + d^2$ . Ahora no podemos tener $a^2 + c^2 = 0$ ya que entonces el lado izquierdo de la primera ecuación es $0$ . Así que con $r = \sqrt{a^2 + c^2}$ tenemos $a = r \cos(\theta)$ , $b = r \sin(\theta)$ , $c = r \cos(\phi)$ , $d = r \sin(\phi)$ para algunos ángulos $\theta$ , $\phi$ y la primera ecuación dice $r^2 \cos(\theta - \phi) = 1$ . Por lo tanto, debemos tener $\cos(\theta - \phi) > 0$ . Podemos tomar como parámetros $u = \theta - \phi \in (-\pi/2, \pi/2)$ y $v = \phi \in [0, 2 \pi)$ con $v = 0$ y $v = 2 \pi$ identificado, y por lo tanto $$ \eqalign{a &=\frac{\cos(u+v)}{\sqrt{\cos(u)}}\cr b &= \frac{\cos(v)}{\sqrt{\cos(u)}}\cr c &= \frac{\sin(u+v)}{\sqrt{\cos(u)}}\cr d &= \frac{\sin(v)}{\sqrt{\cos(u)}}\cr}$$
Esto nos da un homeomorfismo del cilindro $(-\pi/2, \pi/2) \times ({\mathbb R} \mod 2\pi)$ al conjunto de soluciones de $x^2 + y^2 = 1$ en ${\mathbb C}^2$ .
El cilindro también es homeomorfo al $2$ -esfera $S^2$ con dos puntos eliminados.
