Es $M_g$ NUNCA apropiado? Y por qué no $T_g$ contienen productos?

Question

Trabajo a través de una algebraicamente cerrado de campo ($\mathbb C$, si se prefiere) y fix $g\geq 2$. Por $M_g$ me refiero, por supuesto, el espacio de moduli de suaves curvas proyectivas de género $g$. Sé que no es en general adecuada.

Pregunta 1. Es que no apropiada para cada $g$? Y si no, ¿qué es un ejemplo de una correcta $M_g$?

La motivación de la pregunta anterior, es un argumento que he leído en algunas notas de la conferencia. Esto es lo que yo entendí: consideremos el (inyectiva) Torelli morfismos $M_g\to A_g$ (definido por $[C]\mapsto [J(C)]$), donde $A_g$ es el espacio de moduli de PPAVs. Entonces, si $M_g$ fueron adecuados, su imagen coincidiría con la Torelli locus $T_g\subset A_g$. Pero $T_g$ contiene productos de PPAVs, y no hay tal producto puede ser el Jacobiano de una curva. Contradicción.

Ahora estoy perdido.

Pregunta 2,3. Cómo ver que $T_g$ contiene productos de PPAVs? Y por qué un producto no es el Jacobiano de cualquier curva?

También, de paso, donde puedo encontrar un lugar limpio definición de la teta del divisor en un PPAV? Estoy confundido acerca de este punto.

Gracias de antemano.

Answer 1

Pregunta 1: $M_g$ ($g\ge 2$) nunca es apropiado. Una rápida explicación es que $M_g$ es irreductible, y tiene un compactification cuyo límite está dado por el singular estable curvas de género $g$. El límite no está vacía porque para cualquier $g\ge 2$, existe una singular estable de la curva de género $g$ (adjunte una suave curva proyectiva de género $1$ transversalmente a un suave proyectiva de género $g-1$), por lo $M_g$ es diferente de su compactification, por lo tanto no es adecuado.

Una más elemental forma de ver la no-propio es el uso de la valuative criterio. Considerar la hyperelliptic curva de género $g$ definido por $$ y^2=(x^2-t)(x^{2g}-1)$$ más de $\mathbb C((t))$. A continuación, a través de cualquier finito extensión de $\mathbb C[[t]]$ (necesariamente de la forma $\mathbb C[[t^{1/n}]$), los morfismos $$\mathrm{Spec}( \mathbb C((t^{1/n})))\to M_g $$ no se puede extender a $\mathrm{Spec}(\mathbb C[[t^{1/n}]])$, debido a que la curva $$ y^2=(x^2-t_n)(x^{2g}-1), \quad t_n=t^{1/n}$$ tiene mala reducción. Tenemos que probar esto para todos finito extensión de $\mathbb C[[t]]$ porque $M_g$ es un basto espacio de moduli.

Pregunta 2: Si $C_1, ..., C_n$ son proyectivos curvas suaves positiva de género, forman una cadena con $C_i$ de intersección transversalmente $C_{i+1}$ en exactamente un punto. La estable de la curva de $C$ obtenido de esta manera puede ser deformado a un suave proyectiva $X$. El Jacobiano $C$ (igual al producto de la Jacobians de la $C_i$'s) deformes para el Jacobiano de $X$. Esto demuestra que $\prod_i \mathrm{Jac}(C_i)$ es un límite de Jacobians, por lo tanto pertenece a $T_g$.

Para el resto de las preguntas, no tengo una respuesta satisfactoria a ofrecer.