demuestre que $a^3+b^3+c^3-3abc\ge2(\frac{b+c}{2}-a)^3$

Question

Deje $a,b,c\ge 0$ demuestran que: $$a^3+b^3+c^3-3abc\ge2 \left(\dfrac{b+c}{2}-a\right)^3$$

mi intento: $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$$ entonces $b-a=x,c-a=y$ Pero siguiendo no puedo probarlo,Gracias

Answer 1

En primer lugar, la desigualdad es trivial para $b+c-2a<0$ . En segundo lugar, usted tiene: $$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=(a-b)^2+(c-b)^2+(a-c)^2$$ También tienes: $$(a-b)^2+(a-c)^2\geq 2(b-a)(c-a)$$ y por lo tanto: $$2(a-b)^2+2(a-c)^2+2(c-b)^2\geq (a-b)^2+(a-c)^2+2(b-a)(c-a) =(b+c-2a)^2$$ por lo tanto: $$(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\geq (\frac{b+c-2a}{2})^2$$ Pero también tiene $a+b+c\geq b+c-2a$ . Ahora si multiplicas esto por la desigualdad anterior obtienes la respuesta.

Answer 2

Por AM-GM, tenemos $a^3 + b^3 + c^3 \ge 3abc$ . Así que si $\dfrac{b+c}{2}-a \le 0$ la desigualdad está hecha.

Supongamos $\dfrac{b+c}{2}-a > 0$ y podemos definir $b = a + 2x, c = a+2y$ con $x+y > 0$ . Entonces,

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc - 2\left(\dfrac{b+c}{2}-a\right)^3 \\ = 12a(x^2-xy+y^2) + 6(x+y)(x-y)^2 \ge 0$$

Igualdad es cuando $(a, b, c) = (t, t, t)$ o $(0, t, t)$