Deje $\mathbb{C}$ el conjunto de los números complejos, y $x$ ser indeterminado. Deje $\overline{\mathbb{C}(x)}$ ser una expresión algebraica cierre de $\mathbb{C}(x)$. Entonces ¿cuáles son los elementos de $\overline{\mathbb{C}(x)}$?
Obviamente, elementos como las $\sqrt[n]{x}, \sqrt[n]{f(x)}$ (donde $f(x)\in\mathbb{C}(x)$), etc. será en el conjunto. Pero, ¿es fácil describir el conjunto completo?
Sí, es posible describir los elementos de $\overline{\mathbb{C}(x)}$ muy explícitamente.
Se llama serie de Puiseux y constan de una serie infinita de la forma $$ax^{-1/12}+bx^{-7/3}+cx^{4/11}+\ldots$$
con $a,b, c,\ldots \in \mathbb{C}$. La infinidad de fracciones que aparecen como exponentes deben tener un denominador común, y sólo un número finito de ellos puede ser negativo.Las reglas para la suma y la multiplicación son evidentes, análogas a las corrientes de alimentación de la serie con la forma de los exponentes.
Por supuesto esta es una informal definición: oficialmente que el decreto de que una serie de Puiseux es un mapa de $\mathbb Q \to \mathbb C$ cuyo apoyo (=conjunto de los racionales donde el mapa es $\neq 0$) está delimitada por debajo y en $\frac{1}{n} \mathbb Z$ para algunos entero $n\gt 0$ (dependiendo de la serie).
El resultado clave es que el Puiseux forma de serie de un algebraicamente cerrado de campo.
Por lo tanto el conjunto de Puiseux de la serie algebraica $\mathbb{C}(x)$ da una clausura algebraica $\overline{\mathbb{C}(x)}$ de
$\mathbb C(x)$.
Por ejemplo, las ecuaciones $y^3=x$ o $z^2=1+x$ tienen soluciones $y=x^{1/3}$$z=\Sigma_{n\geq 0}\binom {1/2}{n}x^n$.
El mismo procedimiento se describe algebraica de cierre de $F(x)$ $F$ a un arbitrario algebraicamente cerrado campo de característica cero.
Aquí hay un enlace al artículo de Wikipedia sobre el tema.
Realmente depende de lo que cuenta como una descripción. por ejemplo, para algunos propósitos, "la clausura algebraica de $\mathbb{C}(x)$" es ya un lugar bueno y fácil de descripción!
Para el cálculo explícito, es a menudo lo suficientemente bueno como para simplemente construir campos de la extensión de $\mathbb{C}(x)$ a medida que los necesita-por ejemplo, para empezar, el decreto que $\alpha$ satisface $f(x, \alpha) = 0$, y luego continuar trabajando en el campo $\mathbb{C}(x, \alpha)$ (que es, por supuesto, isomorfo a $\mathbb{C}(x)[y] / f(x, y)$.
Como una vuelta de tuerca a esto, probablemente, hay alguna manera de usar las superficies de Riemann (junto con una elección local de la rama) incrustado en $\mathbb{C}^2$ a nombre de los elementos de la algebraicas cierre, pero no es inmediatamente obvio para mí si iba a funcionar.
El campo de los complejos Puiseaux serie no es una expresión algebraica de cierre, es la clausura algebraica de $\mathbb{C}((x))$ y por lo tanto "demasiado grande" -, pero sí contiene una expresión algebraica cierre de $\mathbb{C}(x)$, por lo que usted puede nombrar a las cosas de esta manera.
Como un aparte, escribir cosas como $\sqrt[n]{x}$ es difícil, ya que la clausura algebraica contiene en realidad $n$ elementos que pueden presumir de ese nombre, y sin que la elección de una representación específica de la serie, es imposible especificar cual de los $n$ elementos que quieres decir. (Por supuesto, usted puede conseguir alrededor de esto, simplemente decretar que debemos elegir uno antes de la mano, y el uso de $\sqrt[n]{x}$ a referirse a ella)
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