La prueba de un integrante de la identidad que involucra $\pi$ y e

Question

En la "Sorprendente Identidades" post desde hace un tiempo, Vladimir Reshetnikov, ofreció la siguiente identidad[1]:

$$\int_{0}^{\infty} dx \frac{1}{1 + x^2} \frac{1}{1 + x^{\pi}} = \int_{0}^{\infty}dx \frac{1}{1 + x^2} \frac{1}{1 + x^{e}} \ \ .$$

Donde puedo encontrar una prueba de ello?

1. http://math.stackexchange.com/a/693459/29360

Answer 1

Observar la integral

$$\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\frac{1}{1+x^s}dx$$for any exponent $s$ for which the integral converges. Then, split the integral $I$ como

$$I= \int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\frac{1}{1+x^s}dx$$

$$=\int_0^{1} \frac{1}{1+x^2}\frac{1}{1+x^s}dx+\int_1^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\frac{1}{1+x^s}dx$$

En la segunda integral, hacer la sustitución $x=\frac{1}{y}$, $dx=-\frac{1}{y^2}dy$, y tenga en cuenta que los límites de integración de transformación de$(1,\infty)$$(1,0)$. Por lo tanto, podemos escribir

$$I=\int_0^{1} \frac{1}{1+x^2}\frac{1}{1+x^s}dx+\int_1^{0} \frac{1}{1+y^{-2}}\frac{1}{1+y^{-s}} \left(-\frac{1}{y^2}\right) dy$$

En la última integral, absorbiendo el signo negativo intercambiando el orden de integración, multiplicando numerador y denominador por $y^2y^s$ y la simplificación, y el cambio de las maquetas de la integración de la variable x de los rendimientos

$$I=\int_0^{1} \frac{1}{1+x^2}\frac{1}{1+x^s}dx+\int_0^{1} \frac{1}{1+x^{2}}\frac{x^s}{1+x^{s}} dx$$

que después de la recombinación de las integrales revela que

$$I=\int_0^{1} \frac{1}{1+x^2}\frac{1+x^s}{1+x^{s}}dx=\int_0^{1} \frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{4}$$which obviously is independent of $s$!!