Grupo de Teoría de la órbita estabilizador problema

Question

Este es un problema hace poco que me he encontrado.

Deje $c$ ser una clase conjugacy en $G$. Deje $x$ $y$ ser alguno de los elementos de $c$

1. Mostrar que $Z(x)= \{g \in G | gx=xg \}$ $Z(y)$ tienen el mismo número de elementos. Llame a este número $|z_c|$.

2. Demostrar que $1=\sum_{classes} \frac{1}{|z_c|}. $

Aquí va mi intento:

1. Vamos a la clase conjugacy $c$ el conjunto $ Gz= \{ gzg^{-1} | g \in G \}$. Por lo tanto $x=aza^{-1}$ algunos $a \in G$. Observe que el conjunto de $Z(x)$ es equivalente al conjunto de $g$ $G$ tal que $ gxg^{-1}=x $.

Tenemos $$ gxg^{-1}=gaza^{-1}g^{-1}=x=aza^{-1} $$

lo que da

$$ (a^{-1}ga) z (a^{-1}ga)^{-1} = z $$ Consider the set $Z(z)= \{ h \in G | hz=zh \} $.

A continuación, $|Z(z)|$ sería equivalente a $|Z(x)|$ porque $Z(z)= \{ h \in G | hzh^{-1} =z \}$.

Esto puede ser demostrado por dejar a $g=aha^{-1}$ en la ecuación anterior, dando un bijection.

Del mismo modo, podemos mostrar que $|Z(z)|= |Z(y)|$. Por lo tanto, $|z_c|=|Z(z)|=|Z(x)|=|Z(y)|.$

2. Para la segunda parte, hacemos uso de la órbita-estabilizador teorema. Tomando nota de que

$$|G|=|Gz||\text{Stab}_G(z)|$$

$$|\text{Stab}_G(z)|= |Z(z)|$$ tenemos

$$ \frac{|Gz|}{|G|} = \frac{1}{|z_c|},$$

desde órbitas partición $G$, la suma de todo esto es igual a $1$.

¿Alguien puede mostrarme cómo resolver el problema y explicar si mi solución es la correcta?

Muchas gracias por su ayuda!

Answer 1

Comentario General. Permítanme recordar que para que un grupo finito $G$ que actúa sobre un conjunto $\Omega$, e $\omega\in\Omega$ la órbita-estabilizador teorema de los estados

$|\mathrm{Orb}(\omega)| = \frac{|G|}{|\mathrm{Stab}_G(\omega)|}$.

También, por el bien de un lector interesado en aprender acerca de este tema let me aviso que si $\alpha,\beta$ se encuentran en la misma órbita, a continuación, $\mathrm{Orb}(\alpha)=\mathrm{Orb}(\beta)$ (se puede averiguar por qué?).

En su caso le vamos a $G$ acto en sí mismo por conjugación. Por lo tanto $\Omega=G$.

En su pregunta. ¿Por qué no utilizar la órbita-estabilizador teorema (ost), también para 1?

Tenemos que $Z(x)=\{g\in G : g^{-1}xg=x\}=\mathrm{Stab}(x)$. Si $x,y$ se encuentran en la misma órbita, a continuación,$\mathrm{Orb}(x)=\mathrm{Orb}(y)$, por lo tanto, la ost, los estabilizadores tienen el mismo orden.

Creo que la solución para la segunda parte es bueno.