¿Por qué son las estructuras de contacto estudiado a partir de un cohomological, en lugar de homológica, perspectiva?

Question

Hasta donde yo sé, las estructuras de contacto son estudiados a partir de un "cohomology/doble perspectiva, lo que significa principalmente desde la perspectiva de los formularios de contacto y sus respectivos núcleos, en lugar de una "homológica" versión usando ya sea en contacto con campos vectoriales o Reeb campos vectoriales. Hay una buena razón para ello? Gracias.

Answer 1

Estoy de acuerdo con la respuesta anterior que los no-degeneración condición está muy bien expressable en términos de una aniquilación de la forma. El "homológica" punto de vista se utiliza sin embargo, en particular, si uno está principalmente interesado en el contacto "distribución" (es decir, el subbundle en la tangente paquete annihlated por un formulario de contacto.) Esto se puede implementar ya sea permitiendo la sustitución del formulario de contacto por parte de una clase de equivalencia de los formularios de contacto hasta la multiplicación por un lugar de fuga de la función, o puede discutir directamente desde el punto de vista de las distribuciones. (El Reeb campo no es útil, ya que no es posible reconstruir la distribución de un Reeb fielld sin saber el formulario de contacto. De hecho, equivalente formularios de contacto llevar a diferentes Reeb campos).

Desde el punto de distribución de vista, en una hyperplane subbundle $H$$TM$, y considerar el cociente bundle $Q:=TM/H$ con proyección a $q:TM\to Q$. Entonces para campos vectoriales $\xi$ $\eta$ $M$ que tienen valores en $H$, se considera la proyección de $q([\xi,\eta])$ de su Mentira soporte. Uno comprueba inmediatamente que el mapa resultante es bilineal de las funciones lisas, por lo que hay un inducida por el paquete de mapa de $\mathcal L:H\times H\to Q$. La condición de que $H$ es una distribución de contactos, a continuación, es que el $\mathcal L$ es no degenerada (como una forma bilineal) en cada punto. Esto también puede ser expresada como el hecho de que $\mathcal L$ en cada punto de $x$ $H_x\oplus Q_x$ en una de Heisenberg-álgebra.

Toda la historia admite una generalización arbitraria de las distribuciones (y en general, el "homológica" punto de vista, ciertamente, no es más complicado que el "cohomological"). Hay que obtener en cada punto de un nilpotent gradual Mentira álgebra llamado el símbolo de álgebra de la distribución en ese punto.

Answer 2

$\kappa\wedge d\kappa\wedge\dots\wedge d\kappa\neq0$ es una clara expresión. Cuando usted está tratando de expresar en términos del vector tangente campos, sería un desastre. Por cierto, el Reeb campo se utiliza con frecuencia en contacto con la geometría.