Es este gráfico conectado

Question

Definir el siguiente gráfico en el vértice conjunto de ${\mathbb N}_{\geq1}\>$:

Dos números de $a$, $b\in {\mathbb N}_{\geq1}$ son conectados por una arista (escrito $a \ \mathcal{R} \ b)$ si y sólo si $a+b \ | \ ab-1$.

Claramente $1$ es aislado. Podemos conectar todos los números enteros mayores que $2$ $2$? Por ejemplo: $$2014 \ \mathcal{R} \ 147 \ \mathcal{R} \ 4175 \ \mathcal{R} \ 3891 \ \mathcal{R} \ 142 \ \mathcal{R} \ 43 \ \mathcal{R} \ 7 \ \mathcal{R} \ 3 \ \mathcal{R} \ 2.$$ Por lo tanto $2014$ puede ser conectado a $2$ (escrito $2014\sim2$).

Pregunta: Es este gráfico conectado?

Motivación :

He trabajado en el Machin fórmula y me preguntaba si teníamos $$\arctan \frac{1}{a} + \arctan \frac{1}{b} = \arctan \frac{1}{c}$$ donde $a,b,c$ son números enteros y esto sucede si $c=\frac{ab-1}{a+b}$ es un número entero.

EDIT : Mi apología se me olvidó mencionar que la gráfica está restringido a un número entero positivo.

Answer 1

Una respuesta parcial :

Tenemos $a \sim b$ si y sólo si existe una secuencia de enteros de $a_1, \ldots, a_n$ tal que $a \ \mathcal{R} \ a_1 \ \mathcal{R} \ \cdots \ \mathcal{R} \ a_n \ \mathcal{R} \ b$. La relación $ ab-1 = c (a + b) $ puede ser escrito $(a-c)(b-c)=c^2+1$ y se puede soluciona $a=c+d + a$ y $b=c+ \dfrac{c ^ 2 + 1}$ d, donde d es un divisor de $c^ 2 +1$.

Si $c$ es incluso: Todos los divisores de $c^2+1$ son congruentes a $1$ modulo $4$ entonces $a$ es congruente a $b$ modulo $4$.

Si $c$ es impar: $d$ es congruente a $1$ modulo $4$ y $\dfrac{c^2}d+1$ es congruente a $2$ modulo 4 o viceversa. Si $c=4k+1$, entonces $a$ es congruente a $2$ modulo $4$ y $b$ es congruente a $3$ modulo $4$ o viceversa. Si $c = 4k +3$ entonces $a$ es congruente $0$ modulo $4$ y $b$ a $1$ modulo $4$ o viceversa.

Por lo tanto, probablemente hay tres componentes en el gráfico (pero yo no probar esto):

La primera formada sólo por $1$, el segundo formado por los enteros congruentes $0$ modulo $4$ o $1$, y el último por entero congruente a $2$ o $3$ modulo $4$.

Answer 2

Voy a postear esto como CW porque mi "aclaración" en cuanto a números enteros positivos vs enteros en general, siendo el dominio de/nodos consiguió editar, por lo que (tal vez por casualidad), y quería demostrar que sin la restricción a los enteros positivos, $1$ no es "aislado" como el Q afirma.

Vamos a $R(a,b)$ $(a+b)|(ab-1)$ de números enteros $a,b$. Entonces:

$$ R(1,0) \text{ desde } (1+0)|(0-1) $$

$$ R(0,-1) \text{ desde } (0-1)|(0-1) $$

$$ R(2,-1) \text{ desde } (2-1)|(-2-1) $$

Así que esta evidencia apunta a que la restricción de la gráfica a los bordes entre los enteros positivos.

Answer 3

Esta no es una respuesta, pero la siguiente reformulación puede conducir a un poco de inspiración.

Para dar $a,b\in\mathbb{N}$ let $c=a+b$. Luego de adyacencia entre $a$ y $b$ puede ser escrito $ab\equiv 1$ mod $c$. Pero $b\equiv - $ mod $c$, por lo que también tiene $a^2=b^2=-1$ mod $c$. Esto sugiere que debemos considerar para qué módulos podemos resolver $x^2=-1$ es decir, para los cuales $-1$ es una ecuación cuadrática de residuos.

Si el módulo de $p$ es impar primo, entonces tenemos el clásico resultado que $-1$ es una ecuación cuadrática de residuos mod $p$ ffi $p\equiv 1$ mod 4. Si $p=1$ mod 8 no hay ninguna expresión simple para $x$, pero si $p=5$ mod 8 entonces $x=2^{(p-1)/4}$ resuelve la congruencia. Por lo tanto, si elegimos $a\equiv 2^{(p-1)/4}$ para $0\leq<p$ entonces $a$ y $p-$ adyacentes.

Por lo tanto los números primos que equivalen a 5 mod 8 de generar una familia de adyacencias. Recordando otra de las propiedades de la raíz cuadrada de -1 para los diversos módulos, podemos supuestamente generan otras familias de adyacencias, y (con optimismo) clasificar todas las adyacencias de una manera sistemática.

Answer 4

Si usted me dijo para un conjunto dado. $c$ - entero de cualquier signo.

Entonces de la ecuación. $$ \frac{ab-1}{a+b}=c$$

usando la factorización. De la siguiente manera.

$$(k-n)(k+n)=4(c^2+1)$$

Entonces las soluciones son.

$a = c + \frac {k + n} {2} $

$$ b = c + \frac {k-n} {2} $

$$.........$$

$a = c-\frac {k + n} {2} $

$$ b = c-\frac {k-n} {2} $