Acerca de la hyperplane conjetura.

Question

He escuchado recientemente sobre el hyperplane conjetura y me gustaría entender mejor la problemática detrás de esta conjetura.

El hyperplane conjetura: existe una constante universal de $C>0$ tal que $$C\leq C_d:=\inf\Big( \max \big(V_{d-1}(H\cap K) : H\in\mathcal{H}_{d}\big) : \ K \text{ convex in }\mathbb{R}^d \text{ and } V_d(K)=1\Big )\quad \forall d\geq2$$ donde $\mathcal{H_{d}}$ es el conjunto de hyperplane en $\mathbb{R}^d$ $V_d$ $d$- dimensiones de volumen.

Básicamente dice que la máxima hyperplane sección de cualquier cuerpo convexo no puede ser muy pequeño en comparación con su volumen. Para mí, es similar a una desigualdad isoperimétrico.

Tengo varias preguntas y lugar de la apertura de diferentes preguntas, he puesto todos aquí con la esperanza de obtener respuesta para al menos algunos de ellos. Respuestas parciales y comentarios relacionados con la conjetura, pero no a una de las siguientes preguntas son realmente bienvenidos.

1. Hay una simple justificación de por qué debemos tener $C_d>0$ cualquier $d$?
2. Que cuerpo convexo (de volumen $1$) tiene el más mínimo máximo sección en la dimensión $2$? (Supongo que el disco, pero tal vez me he equivocado de la intuición).
3. Que cuerpo convexo (de volumen $1$) tiene el más mínimo máximo sección en la dimensión $3$?
4. ¿Cuál es la máxima hyperplane sección de una unidad de cubo?

5. Puedes dar otros ejemplos de máxima apartados específicos convexo cuerpo en baja dimensión.

   5 bis: ¿Puede dar un ejemplo de cuerpo convexo (de volumen $1$) con un máximo de hyperplane sección más pequeña que la de la bola (de volumen $1$).

6. ¿De dónde viene esta conjetura viene de?
7. Aparte de dar un límite inferior, no sabemos nada sobre el comportamiento de la secuencia de $(C_d)_{d\geq2}$? Es decreciente? Por qué?
8. Hay alguna encuesta sobre esta conjetura?

Respuestas:

1. ..
2. Emanuele Paolini explicó por qué es el isodiamétricos problema. El disco es la solución de este problema. Se ha demostrado por los Bieberbach en 1915 (en alemán), he encontrado esta referencia en la introducción del artículo Isodiamétricos Problemas de Polígonos por Michael J. Mossinghoff.
3. ..
4. Teorema 6 de "los Volúmenes de las secciones de los cubos y los problemas relacionados con el" de Keith Bola estados de la máxima sección de un cubo unitario en $\mathbb{R}^d$$\sqrt{2}$. Esta sección es que la generalización de la diagonal de un cuadrado. Más precisamente, es atravesado por una $(d-2)$-dimensiones de la cara del cubo y la diagonal de un $2$-dimensiones ortogonales a la cara.

5. Einar Rødland da la máxima sección para el claro ejemplo de la esfera de la dimensión $d$ y el volumen $1$: $\frac{\Gamma(d/2+1)^{\frac{d-1}{d}}}{\Gamma(d/2+1/2)} \rightarrow \sqrt{e}$ (al $d\to\infty$). Otros menos claros ejemplos son realmente bienvenidos a completar la lista.

   5 bis: Cuando la dimensión es lo suficientemente alta ($d\geq 10$), el cubo tiene un menor consumo máximo de hyperplane sección, a continuación, la pelota porque $\sqrt{2}<\sqrt{e}$.

Answer 1

Sobre 2. En el plano de la $1$-volumen de la máxima hyperplane sección, no es nada más que el diámetro de la serie. De hecho, desde el conjunto es convexo, cada sección es un segmento, y cada diámetro de una sección. Así que el problema se convierte en la isodiamétricos problema, cuya solución es conocida por ser el disco.

Answer 2

Mi sensación es que la forma que se dé a la más pequeña hyperplane sección sería la $d$-ball. Si ese es el caso, el $d$-volumen de una $d$-bola de radio $r$ $\nu_dr^d$ donde $\nu_d=\pi^{d/2}/\Gamma(d/2+1)$. Si $r_d=\nu_d^{-1/d}$ es el radio que da volumen 1 y sustituimos esto en la $d-1$-volumen de la zona ecuatorial hyperplane sección $\nu_{d-1}r_d^{d-1}$, podemos obtener la relación de $$ C_d\stackrel{?}{=}\nu_{d-1}r_d^{d-1} =\frac{\Gamma(d/2+1)^{\frac{d-1}{d}}}{\Gamma(d/2+1/2)} \rightarrow e^{1/2} \text{ como }d\rightarrow\infty $$ a menos que de alguna manera me desordenó los cálculos aquí.

La lógica detrás de esta sensación de la tripa es que cualquier perturbación de la $d$-bola que conserva la $d$-volumen tendría que aumentar el $d-1$-volumen de al menos algunas de las secciones.

Si esto es cierto, sería $C_d>0$ $C>0$ con buen margen.

Por supuesto, puedo estar equivocado y la hipótesis de ser verdad...