Tres Dimensiones de la transformada de Fourier de la Radial de la Función sin Bessel y Neumann

Question

Estoy tratando de calcular la transformada de Fourier de $\frac1{|\mathbf{x}|^2+1}$ donde $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$.

Acabo de escribir la integral: $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac1{|\mathbf{x}|^2+1}e^{-2\pi i (\mathbf{x}\cdot\mathbf{\xi})}dx_1dx_2dx_3$.

Mathematica no fue de ayuda con esta integral. Me di cuenta de que a pesar de que la función es radial, por lo que en coordenadas esféricas $f(\rho,\theta,\phi)=\frac1{r^2+1}=f(\rho)$. Pensé que esto simplificaría las cosas, porque entonces los límites de integración son sólo $\int_0^{\infty}\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}$$dx_1dx_2dx_3 \mapsto \rho^2\sin\theta d\theta d\phi d\rho$. Sin embargo, el producto escalar en el exponente está arruinando a mí mucho. Creo que debe ser de la forma $||\mathbf{x}||||\xi||$ algunas veces función trigonométrica del ángulo entre ellos, y $||\mathbf{x}||$ es sólo $\rho$. Debido a esto, no creo que hacer esta integral directamente será mucho más limpio que el de coordenadas Cartesianas.

Sin embargo, me preguntaba si yo podría seguir los métodos de este y aprovechar la simetría de la función y obtener la respuesta de esta manera.

Ya sé que la transformada de Fourier debe ser radial desde el enlace. Sin embargo, no estoy seguro acerca de cómo utilizar la dilatación de la parte de extraer información para mi problema aquí.

¿O crees que sería propicio para escribir $x_1$ $\rho\sin\theta\cos\phi$ etc. y sólo el trabajo que fuera de esa manera?

Answer 1

No veo cómo resolver esto mediante la ordenación de los argumentos de escala utilizado en otra respuesta, ya que su denominador no tienen el mismo tipo de escala de la invariancia.

Para resolver este directamente, el punto clave que hay que observar es que el $\mathbf x\cdot\xi=\lVert\mathbf x\rVert\lVert\xi\rVert\cos\theta$ donde $\theta$ es el ángulo entre el$\mathbf x$$\xi$. Ya que la función de ser transformado es invariante bajo rotaciones, usted puede elegir coordenadas tal que $\theta$ es también el ángulo entre el $\mathbf x$ e las $z$-eje. Luego, con $k=\lVert\xi\rVert$, su integral es

$$ \begin{align} \int_0^\infty\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\frac1{r^2+1}\mathrm e^{-2\pi\mathrm ikr\cos\theta}r^2\sin\theta\,\mathrm d\phi\,\mathrm d\theta\,\mathrm dr &= 2\pi\int_0^\infty\frac{r^2}{r^2+1}\int_0^\pi\mathrm e^{-2\pi\mathrm ikr\cos\theta}\sin\theta\,\mathrm d\theta\,\mathrm dr \\ &= 2\pi\int_0^\infty\frac{r^2}{r^2+1}\int_{-1}^1\mathrm e^{-2\pi\mathrm ikr\cos\theta}\,\mathrm d(\cos\theta)\,\mathrm dr \\ &= \frac{\mathrm i}k\int_0^\infty\frac{r}{r^2+1}\left(\mathrm e^{-2\pi\mathrm ikr}-\mathrm e^{2\pi\mathrm ikr}\right)\mathrm dr \\ &= \Im\frac2k\int_0^\infty\frac{r}{r^2+1}e^{2\pi\mathrm ikr}\mathrm dr \\ &= \Im\frac1k\int_{-\infty}^\infty\frac{r}{r^2+1}e^{2\pi\mathrm ikr}\mathrm dr\;, \end{align} $$

donde el último paso funciona debido a que la parte imaginaria de el integrando es par. Esta integral puede ser evaluado por cerrar el contorno en el plano complejo con un semicírculo en el infinito en la mitad superior del plano, acompañando la pole en $r=\mathrm i$ con residuo $\frac12\mathrm e^{-2\pi k}$, lo que da

$$\Im\frac1k2\pi\mathrm i\,\frac12\mathrm e^{-2\pi k}=\frac\pi ke^{-2\pi k}\;.$$