Por qué $\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ no evaluar a 1?

Question

Estoy tratando de identificar lo que el error es exactamente cuando el razonamiento acerca de un límite, como la definición de $\mathbf e$:

$$ \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n={e} $$

Ahora, sé que hay maneras de probar este límite, como por ejemplo, teniendo en cuenta el binomio de expansión de $(1+\frac{1}{n})^n$ y comparando eso con la serie de Maclaurin de $e$. Para hacer esto en claro, yo soy no buscando una prueba de la definición de límite de $e$.

He intentado buscar por "limitar leyes/reglas" pero ninguna de las reglas que he encontrado descrito en el caso anterior. Por lo tanto, estoy en busca de una regla (o tal vez una cierta perspectiva) que me ayudará a darse cuenta de por qué los de arriba, no en el hecho de evaluar a 1.

Mi tren de pensamiento es el siguiente: en un primer vistazo, si no estaba ya familiarizado con lo que el límite se evalúa, probablemente tendría que evaluar la expresión dentro de los paréntesis primero, y luego de aplicar el límite del poder. Así, $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\quad\text{and then}$$ $$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+0\right)^n=\lim_{n\to\infty}1^n=1$$

¿Por qué es mi razonamiento defectuoso?

Answer 1

Su "problema" ya se produce con $n^{1/n}$. Si usted piensa que "de $n$ primera", a continuación, el límite sería infinito. Si usted piensa que "de $1/n$ primera", el límite será igual a cero. Pero tampoco! (como Chris se mencionó anteriormente, esto ya sucede con los productos, e incluso con sumas).

No hay ninguna justificación en el aislamiento de una parte de la otra: cada nuevo valor de $n$ obviamente, implica un nuevo valor de $1/n$, por lo que no hay tierra en el pensamiento de que deben comportarse de manera "independiente".

Este error es probablemente inducidos por el hecho de que no es en realidad la "independencia" en varias situaciones, como "el límite de la suma es la suma de los límites", o "el límite de un producto es el producto de los límites"; pero incluso en estas situaciones requieren de ambos límites existen. El poder de la situación no es diferente, en el sentido de que no puede libremente "distribuir" el límite.

Answer 2

Un defecto similar se produce en este razonamiento:

¿Qué es $\displaystyle\lim_{n\to0}\left(n\cdot\frac1n\right)$? Así, la evaluación de la primer término a la primera, tenemos: \begin{align} \lim_{n\to0}\left(n\cdot\frac1n\right)&=\lim_{n\to0}\left(0\cdot\frac1n\right)\\ &=\lim_{n\to0}0\\ &=0 \end{align}

Este argumento es claramente un error, como $\lim_{n\to0}\left(n\cdot\frac1n\right)$ es igual a $\lim_{n\to0}1=1$.

La falla con este argumento es que no se puede evaluar un límite de parte por parte. Usted necesita considerar el asunto como un todo. De hecho, desde el $\lim_{n\to0}n=0$$\lim_{n\to0}\frac1n=\infty$, el límite anterior es de la forma $0\cdot\infty$. Esto se llama una forma indeterminada: el hecho de saber que un límite es de la forma $0\cdot\infty$ no dice nada sobre el valor del límite.

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Su ejemplo, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$, es también una forma indeterminada. En este caso, tenemos un límite de la forma $1^\infty$. Ya que es una forma indeterminada, no podemos evaluar que parte por parte, sólo como un todo.

Una lista de formas indeterminadas: $\infty-\infty$, $\dfrac00$, $\dfrac\infty\infty$, $0\cdot\infty$, $1^\infty$, $\infty^0$, $0^0$.

(El último es un extraño en el que es difícil encontrar ejemplos que no son iguales a $1$, otros que los $\lim_{x\to0^+}0^x$. Hay una razón por la que no voy a entrar en. Un ejemplo en el que no es igual a uno: $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(e^{-1/x^2}\right){}^{x^2}=\frac1e$.)

Answer 3

El límite claramente debe exceder $1$. Aquí es por qué.

Tomar $$\left(1+\frac1n\right)^n$$y ampliar el uso de la fórmula binominal.

Para cualquier $n>0$, se obtiene una suma de términos positivos, siendo las dos primeras de $1$:

$$\color{green}{1+\frac nn}+\frac{n(n-1)}{2n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!n^3}+\cdots\frac1{n^n}\color{green}{\ge2}.$$

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Al aumentar el $n$ cada $k^{th}$ tiende a $\dfrac1{k!}$ porque $k$ se convierte en despreciable frente de $n$, que conduce a la conocida suma

$$1+1+\frac12+\frac1{3!}+\frac1{4!}+\cdots.$$