¿Hay una distribución uniforme sobre la línea verdadera?

Question

Para cada intervalo $[a,b]$, existe un uniforme de densidad de probabilidad largo de este intervalo, que es la constante de la función $f(x)=\frac{1}{|a-b|}$ de $a < x < b$ y $f(x)=0$ para todos los otros $x$.

Ahora es evidente que no es el ordinario de densidad de probabilidad, la cual es constante en todos los de $\mathbb{R}$, que también ha integral $1$. (La altura de una función de este tipo tendría que ser infinitesemally pequeño.)

Sin embargo, a mí me parece como si la Dirac-Delta $\delta_x$ muy similares problemas: es conceptualmente una función que es infinitamente delgada, pero aún ha integral $1$.

En la Dirac-Delta caso, se podría resolver el problema de la generalización de la definición de una función y la definición de $\delta$ no como una función, sino como una Schwartz distribución.

Así que mi pregunta es: ¿hay alguna manera, por ejemplo, por la generalización de algunos de definición en algún lugar, para obtener una función que actúa como un uniforme de densidad de probabilidad sobre los números reales, es decir, cuando se multiplica con cualquier otro de la densidad de $f$ la densidad resultante será igual a $f$ (hasta un factor constante)?

Answer 1

(1) Google el término "inapropiado que antes".

(2) Buscar en las obras de Edwin Jaynes.

(3) tal vez incluso de la búsqueda para "inapropiado antes de" en las obras de Edwin Jaynes.

Mi sospecha (en realidad sólo una sospecha) que es algo más amplio que la probabilidad está involucrado. Si se limita a la probabilidad como se concibe mediante la prueba de Kolmogorov del sistema de axiomas, a continuación, por supuesto, la respuesta es "no hay ordinario de densidad de probabilidad, la cual es constante en todos los de $\mathbb{R}$, que también ha integral 1." Pero los axiomas de Kolmogorov no son la última palabra. Contables, frente a lo finito, de la suma que ha sido cuestionado por parte de de Finetti, tal vez Renyi, y otros. Hay un libro que se llama la Teoría de los Cargos (por K. P. S. Bhaskara Rao y M. Bhaskara Rao) que se ocupa de finitely aditivo medidas que no son necesariamente countably aditivo, que puede ser digno de la comprobación hacia fuera. Pero aparte de la cuestión de si la prueba de Kolmogorov de Dios es el último profeta en el campo de la probabilidad, creo que uno podría preguntarse si la probabilidad en sí es la última palabra.

(Es cierto que, Jaynes es molesto a veces. Y a veces, él es inmensamente entretenido. Usted también puede encontrar sus escritos sobre música, incluyendo cosas en la termodinámica de los músculos en los dedos como se aplica a la técnica del piano.)

Nota posterior: no sé por qué, pero se me olvidó mencionar Sir Harold Jeffreys' libro sobre la teoría de la probabilidad. Su Tel. D. fue en matemáticas. Durante un tiempo fue profesor de astronomía. Él escribió un montón de cosas acerca de la sismología. Y tal vez sólo por un apéndice en una edición de uno de sus algo filosóficas libros sabemos hoy acerca de María Cartwright prueba de la irracionalidad de $\pi$. De todos modos, usted encontrará una buena cantidad de cosas sobre inadecuado de los priores en ese libro, y tal vez una cierta cantidad de desprecio por la lógica de rigor como lo entienden los matemáticos.

Answer 2

Delta de Dirac se puede definir como $\lim_{t\rightarrow 0} (x ^ 2 + t ^ 2) ^ {-1} t/\pi$.

La medida $\lim_{t\rightarrow \infty} (x ^ 2 + t ^ 2) ^ {-1} t/\pi$ tiene densidad uniforme sobre la línea real y 1 integral.