La versión corta:
Aparentemente es posible que un $C^1$ -superficie paramétrica continua para tener (localmente) una curvatura infinita (gaussiana). Esto me parece bastante contraintuitivo, porque siempre pensé que sólo una $C^0$ -superficie continua (es decir, que contiene un pliegue) puede tener una curvatura infinita. ¿Qué me falta?
Versión larga:
Dado que la curvatura de una curva se define como $1/r$ , donde $r$ es el radio del círculo que mejor describe la curva en el punto de interés, la curvatura infinita sólo es posible cuando el círculo tiene radio cero (se reduce a un punto único ). En el caso de un $C^0$ -conexión entre dos curvas paramétricas, es obvio que la curvatura llega al infinito. Pero aparentemente, esto también puede ocurrir cuando dos curvas paramétricas se encuentran con $C^1$ -continuidad. ¿Algún ejemplo (por ejemplo, utilizando curvas polinómicas paramétricas)?
En cuanto a las superficies, las dos curvaturas principales $\kappa_1$ y $\kappa_2$ en el punto $(u,v)$ de una superficie paramétrica $X(u,v)$ son respectivamente el mínimo y el máximo curvatura normal en este punto $(u,v)$ . La curvatura normal en la dirección $\phi$ se obtiene cuando un plano que contiene la normal en $(u,v)$ está orientado en la dirección $\phi$ . La intersección de este plano con la superficie da lugar a una curva - la curvatura de esta curva en nuestro punto $(u,v)$ se llama la curvatura normal en la dirección de $\phi$ .
La curvatura gaussiana $\kappa_G$ es simplemente el producto de las dos curvaturas principales, la curvatura media $\kappa_M$ es el suma de las dos curvaturas principales.
Si la curvatura gaussiana es infinita, entonces al menos una de las curvaturas principales tiene que ser también infinita. Siempre he pensado que la curva (es decir, la intersección del plano orientado en la correspondiente dirección principal - y la superficie) debería, por tanto, contener un pliegue, pero aparentemente esto no tiene por qué ser cierto. ¿Qué es lo que me falta?
