Hay un nombre para un "incompleto", factorial $\frac{n!}{m!}$?

Question

Me di cuenta de que yo era de la computación

$${n! \over m!} ,$$

donde $n > m$, de forma ineficaz, como $$\frac{\prod_{k=1}^{n} k}{\prod_{k=1}^m k},$$ cuando muchos de los términos se cancelan y yo podría ser el cálculo de $$\prod_{k=m+1}^n k .$$

Antes de dar a esta función un nombre, es lo que hay ya un nombre o notación para él? "Factorial parcial"? "Factorial incompleto"?

Answer 1

Se puede escribir una relación de factoriales como la caída de los factorial o descendente factorial o inferior factorial. Se puede escribir usando la notación $$x^{\underline k} := x (x - 1) \cdots (x - k + 1)$$ (el símbolo de Pochhammer la notación $(x)_k$ es también común): Por la cancelación hemos $$\color{#bf0000}{\boxed{\frac{n!}{m!} = n^{\,\underline {n - m}}}},$$ pero, por supuesto, $x^{\underline k}$ está perfectamente definido para no entera argumentos $x$. De todos modos, la notación factorial de aquí es sin duda mucho más familiar, y probablemente no podría utilizar cualquiera de las otras notaciones sin comentarios. (Alternativamente, se puede escribir esta relación como un aumento de los factorial utilizando la notación análoga $\color{#bf0000}{\smash{(m + 1)^{\overline {n - m}}}}$ o el Pochhammer la notación $\color{#bf0000}{(m + 1)^{(n - m)}}$; este último tiene el potencial de ser confuso, por razones obvias.)