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límite de la función $\sin(x \ln x)/x$ $x\rightarrow 0$

Estoy tratando de encontrar a $\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin(x \space \ln(x))}{x}$.

Creo que he solucionado usando el teorema del sándwich para determinar: $\frac{-1}{x} \leq \frac{\sin(x \space ln(x))}{x} \leq ln (x)$, lo que demuestra que el límite es -$\infty$.

Sin embargo, nuestro instructor ha sugerido que el enfoque de este límite multiplicando por 1 (es decir,$\frac{f}{f}$) y usando el cambio de variable. A pesar de que mi solución debería ser suficiente si es correcto, estaba esperando que alguien me pudiera ayudar con el profesor del enfoque sugerido. No estoy seguro de lo que 1 para multiplicar la función o por qué elegir como mi cambio de variable. He intentado multiplicar por $\frac{e^x}{e^x}$ y el uso de ambos xln(x) y ln(x) en el cambio de variable, sin suerte.

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jball Puntos 14152

Reescribir como $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x\ln(x))\ln(x)}{x \ln(x)}$$

Tenga en cuenta que $\lim\limits_{x\to 0}x\ln(x)=0$, esto implica.

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x\ln(x))}{x\ln(x)}=\lim\limits_{u\to 0}\frac{\sin(u)}{u}=1$$

Así que, a continuación,

$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x\ln(x))\ln(x)}{x \ln(x)}=\lim\limits_{x\to 0}\ln(x)=-\infty$$

3voto

Jan Eerland Puntos 4354

$$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin(x \space \ln(x))}{x}=$$ $$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}\sin(\ln(x))}{\frac{dx}{dx}}=$$ $$\lim \limits_{x \to 0} \frac{(1+\ln(x))\cos(x\ln(x))}{1}=$$ $$\lim \limits_{x \to 0} (1+\ln(x))(\cos(x\ln(x))=$$ $$\lim \limits_{x \to 0} (1+\ln(x))\lim \limits_{x \to 0} \cos(x\ln(x))=$$ $$\lim \limits_{x \to 0} (1+\ln(x))\cos\left(\lim \limits_{x \to 0} x\ln(x)\right)=$$ $$\lim \limits_{x \to 0} (1+\ln(x))\cos\left(\lim \limits_{x \to 0}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}\right)=$$ $$\lim \limits_{x \to 0} (1+\ln(x)) \cos\left(\lim \limits_{x \to 0}\frac{\frac{d}{dx}\ln(x)}{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)}\right)=$$ $$\lim \limits_{x \to 0} (1+\ln(x)) \cos\left(\lim \limits_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}\right)=$$ $$\lim \limits_{x \to 0} (1+\ln(x)) \cos\left(\lim \limits_{x \to 0}-x\right)=$$ $$\lim \limits_{x \to 0}(1+\ln(x))\cos(0)=$$ $$\lim \limits_{x \to 0} 1+\lim \limits_{x \to 0}\ln(x)=$$ $$1+\lim \limits_{x \to 0}\ln(x)=$$ $$1+(-\infty)=-\infty$$

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