$C$ ser un subconjunto cerrado del conjunto de Cantor $\Delta$. Muestran la existencia de una función continua $f:\Delta\to C$ s.t. $f(x)=x$, $x\in C$

Question

Pregunta: Vamos a $C$ ser un subconjunto cerrado del conjunto de Cantor $\Delta$. Probar que existe una función continua $f$ $\Delta$ a $C$ s.t. para cada $x \in C$ tenemos $f(x)=x$.

Contexto: Pregrado Avanzado De Análisis. Estoy familiarizado con Rudin y Carothers. Este fue un hecho que plantea un profesor que ha estado en mi mente por un tiempo ahora.

Yo estaba considerando la función de Cantor $\Delta \rightarrow [0,1]$ pero no sé cómo se podría demostrar que es continua en a $\Delta$.

Cualquier idea o ayuda se agradece.

Answer 1

Deje $\Delta$ ser el medio tercios conjunto de Cantor, y deje $F$ ser un no-vacío cerrado subconjunto de $\Delta$. A continuación, $[0,1]\setminus F$ es un conjunto abierto en $[0,1]$, por lo que es la unión de una contables de la familia $\mathscr{I}$ de pares distintos intervalos abiertos en $[0,1]$. (Tenga en cuenta que los intervalos de las formas $[0,a)$ $(a,1]$ están abiertas en $[0,1]$.) Deje $I=(a_I,b_I)\in\mathscr{I}$; claramente $a_I,b_I\in F$. $\Delta$ no contiene ningún no-vacío intervalo abierto, por lo que hay un $x_I\in(a_I,b_I)\setminus\Delta$. Ahora definir

$$f:\Delta\to F:x\mapsto\begin{cases} x,&\text{if }x\in F\\ a_I,&\text{if }x\in(a_I,x_I)\text{ for some }I\in\mathscr{I}\\ b_I,&\text{if }x\in(x_I,b_I)\text{ for some }I\in\mathscr{I}\;. \end{casos}$$

Se puede demostrar ahora que $f$ es continua?

Agregado: Si $0\notin F$, habrá un $I\in\mathscr{I}$ de la forma $[0,b)$; en ese caso tome $x_I=0$. Del mismo modo, si hay un $I\in\mathscr{I}$ de la forma$(a,1]$,$x_I=1$. En estos dos casos, usted desea $f$ a aplastar a todos los de $I\cap\Delta$ a la estación de $I$ que es en $F$.