Resolver $a\sin \theta + b\cos \theta + c\sin 2\theta + d\cos 2\theta = k$

Question

Tengo que resolver (para $\theta$ ) una ecuación de la forma:

$$a\sin \theta + b\cos \theta + c\sin 2\theta + d\cos 2\theta = k$$

Sólo me interesan las soluciones de valor real en las que $0 \theta \frac\pi4$ Si existe uno, y también saber si no existe ninguno. También, $a$ , $b$ , $c$ , $d$ y $k$ son números racionales.

¿Existe una manera "fácil" de atacar este problema?

La única estrategia que se me ocurrió para expresar todos los senos y cosenos como $\sin \theta$ y luego elevar al cuadrado la ecuación para deshacerse de las raíces cuadradas, y luego resolver una ecuación cuártica, y luego comprobar la legitimidad de las raíces. ¿Existe un enfoque más fácil, tal vez uno que esté más adaptado a este problema?

Answer 1

Set $x=\sin\theta$ , $y=\cos\theta$ y obtener la cónica

$$ax+by+2cxy+dx^2-dy^2=k,$$ que tiene soluciones a su ecuación donde interseca el círculo unitario.

Desde $(2c)^2-4d(-d)=4(c^2+d^2)>0$ Estamos ante una hipérbola. (De hecho, como los coeficientes de $x^2$ y y^2$ son negativos entre sí, estamos ante una hipérbola cuyas asíntotas se interceptan en ángulos rectos).

Sin embargo, todo sigue siendo un poco desordenado. Si giramos por $\frac{\arctan(-d/c)}{2}$ deberíamos obtener una hipérbola que tiene sus asíntotas paralelas a la nueva $u$ - y $v$ - ejes de coordenadas con ecuación $2c'uv+b'u+a'v=k$ que, después de hurgar un poco más, es

$$\left(u-\frac{-a'}{2c'}\right)\left(v-\frac{-b'}{2c'}\right)=\frac{2c'k+a'b'}{4c'^2}. $$ Si el centro de la hipérbola está muy lejos de la circunferencia unitaria, probablemente puedas comprobar la intersección simplemente comprobando si las asíntotas se cruzan y luego mirando cerca.