Un posible error en una probabilidad condicional de la derivación

Question

La siguiente es una derivación de una densidad de un trabajo que estoy estudiando actualmente. Lo siento por la mala calidad, es un viejo papel. Tengo que aclarar que $R$ el modelo exponencial de la densidad en $(0,\infty)$, $U$ es uniforme en $(0,1)$ y son independientes. La población coeficiente de correlación $\rho$ es una constante de curso. $X$ $Y$ provienen de la norma bivariante de la distribución normal, por lo tanto el trigonométricas representación, pero esto no juega ningún papel aquí, creo.

Lo que no entiendo es cómo el autor llega a estas conclusiones positivas o negativas $t$. A mí me parece que la división por un número negativo y el nonnegativity de $R$ no son adecuadamente tenidos en cuenta. Puedo estar equivocado, por supuesto, agradecería algún consejo. Gracias.

Answer 1

También puedo estar equivocado, pero veo ninguna dificultad con la descomposición.

Al $t\ge 0$, \begin{align*} P(R(\cos(\pi U)&+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ &=P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0) \end{align*} desde el segundo término es cero, $R$ ser multiplicado por un término negativo. Así $$ P(XY\ge t) = P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\quad\qquad \\ \ \ \ = P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,U\le\cos^{-1}(-\varrho)/\pi)\\ = \int_0^{\cos^{-1}(-\varrho)/\pi} P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t)\,\text{d}u $$ parece ser correcta.

Al $t\le 0$, desde $$R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t$$ is always true when $\cos(\pi U)+\varrho\ge 0$, \begin{align*} P(R(\cos(\pi U)&+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(-\cos(\pi U)-\varrho)\le -t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+P\left\{R\le t\big/(\cos(\pi U)+\varrho),U\ge\cos^{-1}(-\varrho)/\pi\right\}\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+\int_{\cos^{-1}(-\varrho)/\pi}^1 P\left\{R\le t\big/(\cos(\pi u)+\varrho\right\} \end{align*} así que este parece ser correcto también.