Espiral del área de Arquímedes y bosquejo en coordenadas polares

Question

Este es un ejercicio de Apostol Cálculo, volumen 1 . Nos pide que dibujemos el gráfico en coordenadas polares y que encontremos el área del conjunto radial para la función:

$$f( \theta ) = \theta $$

En el interva $0 \leq \theta \leq 2 \pi $ . Creo que para encontrar el área que deberíamos integrar $ \theta \ d \theta $ de 0 a $2 \pi $ como cualquier otra función? ¿Es eso cierto? Tampoco estoy seguro de cómo pensar en esbozar una función en coordenadas polares.

El problema es que el libro da la respuesta como $4 \pi ^3/3$ que no es lo que obtengo si sólo integro la función.

Answer 1

En primer lugar, para dibujar un gráfico de este tipo, hay que considerar la distancia al origen como el ángulo de la $x$ -cambios en el eje. Al igual que cuando se dibuja la gráfica de una función en coordenadas rectangulares es bueno evaluar en valores particulares de $x$ y ver la altura de la función, al trazar una curva en coordenadas polares, evaluar la función son unos valores del ángulo y encontrar el radio, es decir, la distancia desde el origen en el ángulo. Así, haciendo eso obtenemos la siguiente gráfica:

Entonces, para calcular el área del conjunto radial, hay que integrar $\frac{1}{2} r^2$ donde el radio es el valor de la función. Así que tenemos, \begin {align*} \text {Area} &= \frac {1}{2} \int_0 ^{2 \pi } \theta ^2 \, d \theta \\ &= \left. \frac {1}{2} \cdot \frac { \theta ^3}{3} \right |_0^{2 \pi } \\ &= \frac {(2 \pi )^3}{6} \\ &= \frac {4 \pi ^3}{3}. \end {align*}

Answer 2

Trazar esto en coordenadas polares es bastante sencillo. Dibuja tus ejes y sabes que el valor radial es igual al ángulo, por lo que tu curva comenzaría en el origen cuando $\theta$ es cero, sería $\frac{\pi}{2}$ a 90 grados, etc.

En cuanto al cálculo del área, es correcto que lo integras, pero no estoy seguro de lo que significa físicamente porque la curva no se cierra sobre sí misma ya que $f(0) \neq f(2\pi)$ (tal vez esta es la visión que están tratando de obtener de usted).