¿Por qué no hay una función con un dominio no vacío y un rango vacío?

Question

Deje que $A$ para ser un conjunto no vacío y $B= \emptyset $ Entonces $ A \times B$ es un conjunto. Y que $F$ ser una función $A \to B$ . Luego $F \subseteq A \times B$ . Por el axioma de la especificación, $F$ debe existir (si no he estropeado algo).

Pero el libro que estoy leyendo, Elementos de la teoría de conjuntos por Enderton, dice que ninguna función podría tener un dominio no vacío y un rango vacío, y no se dan más detalles.

Así que mi confusión surge. Su declaración contra mi prueba. El único axioma que conozco para probar que tal conjunto no existe es el axioma de la regularidad. Pero no puedo dar tal prueba. Así que necesito ayuda. Espero que alguien pueda explicar claramente por qué no existe tal función, y por qué esto no contradice el axioma de la especificación.

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Déjeme explicarle mi confusión con más detalle:

En primer lugar, sé que $A \times \emptyset $ está vacía. Pero $ \emptyset \times A$ es también un conjunto vacío, sin embargo no hay ningún problema con las funciones con un vacío dominio .

El libro que estoy leyendo define una función como:

"Una función es una relación tal que para cada $x$ en $ \operatorname {dom} F$ sólo hay una $y$ de tal manera que $x \mathop F y$ ."

y una relación como:

"Una relación es un conjunto de pares ordenados".

Ahora, déjame definir la función $F$ como: $$F = \{ \langle x,y \rangle \mid x \in A \text { and } y \in B \text { and ... other conditions} \}$$ así que es igual a: $$F = \{ \langle x,y \rangle \in A \times B \mid \text {... other conditions} \}.$$

¿No significa eso que $F$ cumple las condiciones del axioma de la especificación, y por lo tanto existe?

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Lo que me gustaría preguntar específicamente es:

1. ¿Cómo se define una función $F$ (con la mayor precisión posible)?

2. ¿Por qué el argumento anterior no implica que una función $F: A \to B$ siempre existe?

3. ¿Desea $F \subseteq A \times B$ todavía se mantienen cuando $B = \emptyset $ ?

(La respuesta a la #2 no puede ser simplemente que $A \times B = \emptyset $ porque $ B \times A = \emptyset $ también, pero una función $B \to A$ hace existen.)

Answer 1

La forma estándar de definir funciones en teoría de conjuntos es esa:

1. El producto cartesiano de los conjuntos $A$ y $B$ , escrito como $A \times B$ es el conjunto de todos los pares ordenados donde el primer elemento del par está en $A$ y el segundo en $B$ : $$A \times B = \{(a,b): a \in A, b \in B\}.$$

   (Representar estos pares ordenados como conjuntos, y demostrar que el producto cartesiano de dos conjuntos es efectivamente un conjunto según los axiomas de la teoría de conjuntos, son detalles que podemos obviar aquí).

2. A relación $R$ entre los conjuntos $A$ y $B$ es cualquier subconjunto de su producto cartesiano: $R \subset A \times B$ .

   (A menudo, por convención, escribimos $a \mathop R b$ como abreviatura de $(a,b) \in R$ Esto es particularmente común cuando el símbolo elegido para la relación no es una letra como $R$ sino algo abstracto como $\sim$ o $\odot$ .)

3. A función $f$ de $A$ a $B$ es una relación entre $A$ y $B$ (es decir, un subconjunto de su producto cartesiano) que satisface las dos condiciones adicionales siguientes:

   • existencia de imágenes para todos $a \in A$ Hay un $b \in B$ tal que $(a,b) \in f$ .

   • la singularidad de las imágenes : si $(a,b) \in f$ y $(a,b') \in f$ entonces $b = b'$ .

   Si la relación $f$ es una función, entonces, para cada $a \in A$ existe exactamente una $b \in B$ Satisfaciendo a $(a,b) \in f$ . A esto lo llamamos $b$ el imagen de $a$ en $f$ , escrito $f(a)$ para que..: $$f(a) = b \iff (a,b) \in f.$$

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Entonces, ¿qué pasa cuando $B = \varnothing$ ? En ese caso, para cualquier $A$ el producto cartesiano $A \times B = \varnothing$ ya que no existen pares $(a,b)$ tal que $a \in A$ y $b \in B$ . (Lo mismo, por supuesto, también es cierto siempre que $A = \varnothing$ .)

Dado que el único subconjunto de $\varnothing$ es $\varnothing$ la única relación entre $A$ y $B$ es la relación vacía $\varnothing$ . La pregunta, entonces, es: es la relación vacía una función de $A$ a $B$ ?

• Si $A \ne \varnothing$ No, no lo es, porque existe al menos una $a \in A$ pero no puede haber $b$ tal que $(a,b) \in \varnothing$ .

• Si $A = \varnothing$ Sí, lo es. En este caso, tanto la condición de existencia como la de unicidad son vacuamente ciertas, ya que no hay $a \in A$ por lo que podrían fracasar.

Por lo tanto, existe una función (única) del conjunto vacío a cualquier conjunto (incluido el propio conjunto vacío), pero no existe ninguna función de un conjunto no vacío al conjunto vacío.

Answer 2

Lo has estropeado porque $A\times\varnothing$ es el conjunto vacío. Por lo tanto, sólo si $A$ está vacía también existe tal función.

Answer 3

Una función $f\colon A\to B$ es un subconjunto de $A\times B$ tal que

1. por cada $a\in A$ existe $b\in B$ tal que $(a,b)\in f$ ;

2. por cada $b,b'\in B$ si existe $a\in A$ con $(a,b)\in f$ y $(a,b')\in f$ entonces $b=b'$ .

La primera condición expresa el hecho de que cada elemento en $A$ tiene una imagen en $B$ . La segunda condición expresa el hecho de que dicha imagen está determinada de forma única por el elemento en el dominio. Así, si $a\in A$ podemos escribir $f(a)$ para denotar el único elemento en $B$ tal que $(a,f(a))\in f$ .

Ahora bien, si $B=\emptyset$ tenemos $f\subset A\times\emptyset=\emptyset$ Así que $f$ está vacía. Por lo tanto, cada elemento de $A$ no tiene una imagen en $B$ en $f$ y, por tanto, una función $f\colon A\to\emptyset$ sólo puede existir cuando también $A$ está vacía.

Por el contrario, si $A=\emptyset$ la condición 1 no puede fallar para ningún elemento de $\emptyset$ que no tiene elementos; también la condición 2 no puede fallar, por lo que sí existe una función $f\colon \emptyset\to B$ . Es único, porque $f\subseteq \emptyset\times B=\emptyset$ Así que $f=\emptyset$ .

Answer 4

Conjuntos dados $A$ y $B$ una función de $A$ a $B$ es un subconjunto $f\subseteq A\times B$ tal que $$\forall a\in A\ \exists ! b\in B\ ((a,b)\in f).$$

Así, si $A\neq\emptyset$ y $B=\emptyset$ , sin función $f$ existe, ya que, dado cualquier $a\in A$ no se puede encontrar ningún $b\in B$ con $(a,b)\in A\times B$ , como $A\times B$ está vacía.

Answer 5

$ \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\calcop}[2]{\notag \\ #1 \quad & \quad \text{"#2"} \notag \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\notag \end{align}} $ En esencia, Enderton está diciendo que $$ \tag{0} F\text{ is a function} \;\land\; \text{dom }F \not= \emptyset \;\land\; \text{ran }F = \emptyset $$ es falso. Y por lo que leo en la pregunta, y por fragmentos en las interwebs (por ejemplo http://tedsider.org/teaching/st/st_notes.pdf ), sus definiciones de dominio y rango son \begin {align} \text {dom }F & \;=\\; \{x \mid \langle \exists y :: xFy \rangle \} \\ \text {ran }F & \;=\\; \{y \mid \langle \exists x :: xFy \rangle \} \\ \end {align}

Ahora, ¿qué significa que $\;\text{dom }F \not= \emptyset\;$ ?

$$\calc \text{dom }F \not= \emptyset \calcop{\equiv}{basic property of $\;\emptyset\ ; $} \langle \exists x :: x \in \text{dom }F \rangle \calcop{\equiv}{the above definition of $\;\text {dom}; $} \langle \exists x :: \langle \exists y :: xFy \rangle \rangle \endcalc$$

De la misma manera,

$$\calc \text{ran }F = \emptyset \calcop{\equiv}{basic property of $\;\emptyset\ ; $} \lnot\langle \exists y :: y \in \text{ran }F \rangle \calcop{\equiv}{the above definition of $\;\text {ran}\a}; $} \lnot\langle \exists y :: \langle \exists x :: xFy \rangle \rangle \rangle \endcalc$$

Por lo tanto, tenemos una contradicción:

$$\calc \text{dom }F \not= \emptyset \;\land\; \text{ran }F = \emptyset \calcop{\equiv}{the above calculations} \langle \exists x, y :: xFy \rangle \;\land\; \lnot \langle \exists x, y :: xFy \rangle \calcop{\equiv}{logic: contradiction} \text{false} \endcalc$$

y se deduce directamente que $(0)$ es falso, independientemente de la definición de "función .

Así que (usando las definiciones de Enderton) no hay ni siquiera un relación $\;F\;$ con un dominio no vacío y un rango vacío, y por tanto (ya que toda función es una relación) tampoco existe función con un dominio no vacío y un rango vacío.

Obsérvese que no hay conjuntos fijos $\;A\;$ o $\;B\;$ se han mencionado hasta ahora.

Enderton abrevia entonces $$ F : A \to B \;\equiv\; F\text{ is a function} \;\land\; \text{dom }F = A \;\land\; \text{ran }F \subseteq B $$ Obsérvese cómo esta definición es asimétrico con el dominio y el rango: $\;F : A \to \emptyset\;$ es falso para los no vacíos $\;A\;$ (como acabamos de demostrar arriba), pero $\;F : \emptyset \to B\;$ es verdadera si $\;F = \emptyset\;$ (ya que $\;\emptyset\text{ is a function}\;$ ), independientemente del valor de $\;B\;$ . Esta es exactamente la asimetría señalada en la pregunta.