La solución de $|a| < |b|$

Question

Pido disculpas si esta pregunta en general, pero he estado teniendo problemas para encontrar soluciones como Google descarta valor absoluto de los signos y signos de desigualdad.

Estoy buscando una manera de eliminar las funciones de valor absoluto en $|a| < |b|$.

Puedo solucionar $|a| < b$$|a| > b$, pero yo no estoy seguro de qué método o combinación de métodos para eliminar el valor absoluto de los signos de ambos lados.

Gracias!

Un ejemplo de problema:

$$|x + 2| < |x - 4|$$

Answer 1

Tenemos $|a| \lt |b|\,$ si ninguna de ellas es verdadera:

(i) $\,a$ $b$ $\gt 0$ $a \lt b$

(ii) $a\lt 0$ $b\ge 0$ $-a \lt b$

(iii) $b \lt 0$ $a \gt 0$ $a \lt -b\,$

(iv) $\,a\lt 0$$b\lt 0$$-a\lt -b$. Podemos reescribir esto como $b \lt a$.

Cuatro de los casos! No es de extrañar, ya que la eliminación de un único valor absoluto signo a menudo consiste en romper el problema en $2$ de los casos.

A veces, uno puede aprovechar la más simple $|a| \lt| b|\,$ fib $\,a^2\lt b^2$. Pero el cuadrado de expresiones generalmente se hace sustancialmente messier.

Agregado: Con su nuevo problema de ejemplo, el cuadrado pasa a trabajar muy bien. Tenemos $|x+2| \lt |x-4|$ fib $(x+2)^2 \lt (x-4)^2$. Expanda. Estamos viendo la desigualdad

$$x^2+4x+4 \lt x^2-8x+16.$$

El $x^2$ cancelar, y después de menores de álgebra obtenemos el equivalente a la desigualdad $12x \lt 12$, o, equivalentemente,$x\lt 1$. La cuadratura de la estrategia funciona bien para cualquier desigualdad de la forma $|ax+b| \lt |cx+d|$.

Pero el mejor enfoque para este problema en particular es geométrica. Dibuja una recta numérica, con $-2$$4$. Nuestra desigualdad dice que estamos más cerca de $-2$ que estamos a $4$. El número de $1$ está a medio camino entre el$-2$$4$, por lo que debemos estar a la izquierda de $1$.

Answer 2

Existen diferentes enfoques; uno es mirar los ceros de las expresiones dentro de los valores absolutos, y se separaron $\mathbb R$ en intervalos en consecuencia. En su ejemplo,$|x + 2| < |x - 4|$, los puntos de interés en$x=-2$$x=4$. Por lo tanto se puede considerar tres casos:

1. Si $x \in (-\infty,-2)$,$x+2 < 0$$x-4 < 0$, por lo que los valores absolutos revertir los signos de ambos. Esto nos da: $$\begin{align} -(x+2) &< -(x-4) \\ x+2 &> x-4 \\ 2 &> -4 \end{align}$$ Esto es cierto para todos los $x$ en el intervalo.

2. Si $x \in [-2,4)$,$x+2 \geq 0$, por lo que su señal no se ve afectada por el valor absoluto, sino $x-4 <0$, por lo que su señal se invierte: $$\begin{align} x+2 &< -(x-4) \\ 2x+2 &< 4 \\ x &< 1 \end{align}$$ La combinación de esta última desigualdad con la suposición de que $x \in [-2,4)$, podemos ver que cualquier $x$ $[-2,1)$ es válido.

3. Por último, si $x \in [4,\infty)$, ni la expresión del signo se invierte: $$\begin{align} x+2 &< x-4 \\ 2 &< -4 \end{align}$$ Este es falsa para todas las $x$ en el intervalo.

Poner toda la información en conjunto de los tres casos, hemos $x \in (-\infty, 1)$.

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Nota: como algunos otros colaboradores han mencionado, hay maneras más simples para lidiar con su problema, tales como la visualización es geométricamente. El método que he mostrado arriba es más útil cuando las expresiones son más complicados o cuando se tienen varios valores absolutos; por ejemplo, una desigualdad como $3 |x^2-1|+|x-2|+|x^2-3x| > 5$.

Answer 3

Podemos ver $|x-a|$ como un punto de distancia $x$ desde el punto de $a$.

Ahora, la pregunta con la anterior "definición" sería como:

Para que $x$ valores de distancia del punto de $x$ $-2$ ser menor que la distancia del punto de $x$$4$?

Claramente, por el dibujo, tal vez, se puede observar que la respuesta es para todos los $x<1$.

Answer 4

Podemos dividir por $|b|$ conseguir $|a/b|<1$. Deje $x=a/b$$|x|<1$$-1<x<1$.

Ahora multiplique por $b$.

Si $b>0$$-b<a<b$.

Si $b<0$ $-b>a>b$