elipse, circunferencia de la

Question

Aquí está un artículo de Wikipedia sobre el perímetro de una elipse: http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse#Circumference

No sé cómo Ramanujan desarrollado la siguiente aproximación para la circunferencia de una elipse:

$ \pi\left(3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right) $

No sé cómo derivar de esta aproximación: $\left(\text{where }h=\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\right)$

$C\approx\pi\left(a+b\right)\left(1+\frac{3h}{10+\sqrt{4-3h}}\right)$

Puede alguien explicar cómo derivar las aproximaciones para una elipse, circunferencia? También, puede alguien demostrar que no existe cerrado/simple fórmula para el perímetro de una elipse?

Answer 1

La mayoría de las aproximaciones funcionan mejor cuando la excentricidad $e:=\sqrt{a^2-b^2}/a$ (o su $h$)$\ll1$. En este caso la integral elíptica $E(e)$ puede ser desarrollado en una serie en términos de potencias de $e$.

Nadie puede memorizar los coeficientes de esta serie. Por lo tanto se paga a construir (por la "ingeniería inversa") una función simple de $e$ (que contiene sólo las fracciones, raíces cuadradas y similares), cuya expansión de Taylor coincide con la expansión de la $E(e)$ durante tantos términos como sea posible. Este es un problema para jugar y no tiene única solución mejor; ver las fórmulas en el citado artículo de la Wikipedia.

Es mucho más difícil dar aproximación a las fórmulas que son buenas para las grandes excentricidades, o incluso en el límite de $e\to1-$, cuando la elipse se convierte en terriblemente plana. La circunferencia no es entonces una analítica de la función de $\delta:=1-e$.