¿Por qué la prueba de proporción para $L=1$ ¿No concluyente?

Question

Una de las pruebas de convergencia ( $L\lt 1$ ) y la divergencia ( $L\gt 1$ ) de una serie infinita es el prueba de relación .

La idea que subyace, por la que funciona, es la serie geométrica que domina (o no) la serie probada.

Mi pregunta:
Con la idea en mente de que la serie geométrica domina (o no) a la probada, me resulta un misterio por qué la prueba no es concluyente para el caso $L=1$ porque la serie geométrica diverge claramente en el caso $x\geq 1$ .

Veo que hay ejemplos de casos en los que $L=1$ que son convergentes todavía, no entiendo por qué. No tengo comprensión ni intuición para ese caso.

¿Alguien puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Dado que la prueba de proporción no implica la comparación con una serie geométrica de proporción $L$ sino uno con ratio cerca de $L$ .

Si su serie tiene $L = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1$ para cualquier $\epsilon >0$ , $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ es finalmente inferior a $L+\epsilon$ por lo que su serie está finalmente dominada por una serie geométrica de razón $L+\epsilon$ . Si toma $\epsilon$ lo suficientemente pequeño como para que $L+\epsilon<1$ entonces esta serie geométrica convergerá, y por lo tanto su serie original converge.

Del mismo modo, si $L>1$ entonces su serie acaba dominando a una serie geométrica de razón $L-\epsilon > 1$ y así diverge.

Pero si $L=1$ ninguno de estos enfoques funciona. Para cualquier $\epsilon > 0$ , $1+\epsilon > 1$ , por lo que las series geométricas que puedes demostrar que finalmente dominan tus series son todas divergentes. Análogamente, $1-\epsilon<1$ así que las series geométricas que puedes demostrar que están eventualmente dominadas por tus series son todas convergentes.

Answer 2

La razón por la que esta prueba no es concluyente es que incluso dos series con exactamente los mismos cocientes sucesivos pueden tener propiedades de convergencia diferentes cuando el límite de los cocientes sucesivos es 1.

Por ejemplo, la serie Harmonic $\sum 1/n$ diverge, sino la serie armónica alterna, $\sum (-1)^n 1/n$ converge. En ambos casos, la prueba de la relación da como resultado $$\lim_{n\to \infty} \frac{n}{n+1} = 1.$$

Un límite de $1$ demuestra que los términos no se comportan como una serie geométrica en el límite. De hecho cualquier serie con términos procedentes de una función racional $$\sum_{n=0}^\infty \frac{a_m n^m + a_{m-1} n^{m-1} + \cdots + a_0}{b_s n^{s} + b_{s-1} n^{s-1} + \cdots + b_0}$$ producirá un límite de 1 cuando se utilice la prueba de relación. Además, para series de esta forma, es más productivo utilizar la prueba de comparación de límites con $$\sum_{n=0}^\infty n^{m-s}.$$