¿Cuáles son algunos buenos ejemplos de variedades simplemente conexas con álgebras de Lie de Whitehead interesantes sobre R? La mayoría de los colectores en los que uno piensa si es bastante ingenuo no son tan interesantes: los grupos de Lie tienen álgebras de Whitehead abelianas y los espacios homogéneos no tienen estructura de producto superior.
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auramo
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Supongo que por la Whitehead álgebra de la Mentira, la media de la homotopy grupo se encuentran álgebra $\pi_*(\Omega X)\simeq \pi_{*-1}(X)$ tal vez tensored por los reales $R$. En ese caso no es un teorema de Felix-Halperin-THomas, llama la dicotomía teorema que dice que esta Mentira álgebra es finito-dimensional (y el espacio que se dice ser "elíptica"), o es muy grande en el sentido de que las filas de a $\pi_k(X)$ crece exponencialmente con k (y el espacio se llama "hiperbólico"). Si la característica de Euler de la múltiple es negativa, entonces el espacio es siempre hiperbólico/ por otro lado, cuando el espacio es hiperbólico la Whitehead Mentira álgebra está muy lejos de ser abelian: en realidad radical es finito dimensionales. Por lo tanto, cualquier colector con la negativa de euler característica tiene un no abelian de infinitas dimensiones homotopy Mentira álgebra.
Generalizar lo que dice Ryan, en realidad, cualquier conectados suma de dos simplemente se conecta colectores $M$ $N$ es hiperbólica, a menos que el cohomology de ambos $M$ $N$ son truncatated polinomio de álgebras en una sola genrator (como la esfera o $CP(n)$). En particular, la relacionada suma de 3 o más cerrado colectores de no tener el racional homotopy tipo de una esfera es hiperbólico.
Otro ejemplo de no abelian Whitehead Mentira álgebra pero finito dimensionales, es la asociada a un colector $M$ obtenido como $S^5$-bundle con base $S^3\times S^3$ y donde la clase de euler del paquete es la clase fundamental de la base (o cualquiera que no sea cero múltiplo de ella). En caso de que la Whitehead racional Mentira álgebra $\pi_*(M)\otimes Q$ es de dimensión $3$ con base $x,y,[x,y]$ donde $x$ $y$ grado $3$ $[x,y]$ es en grado $5$. Así, esta variedad M es de forma elíptica. Curiosamente, el cohomology álgebra de M es isomorfo a que de la conexión de suma $W$ de dos copias de $S^3\times S^8$, pero $W$ es hiperbólica.
