Hay un nombre para la matriz de la ecuación a X + B X + C X C = D?

Question

Resulta que estoy trabajando en un problema que se reduce a la solución de la siguiente ecuación:

$$\mathbf{A X B} + \mathbf{B X A} + \mathbf{C X C} = \mathbf{D}$$

donde Una a través de D son conocidas las matrices ( Un, B, D son reales, simétrica matrices y C es real y antisimétrica), y X es una incógnita matriz cuadrada a ser resuelto.

Hay un nombre para esta ecuación, y es allí cualquier algoritmo conocido para la solución de esta ecuación? (Sin la C X C plazo, esto se reduce a la continua Lyapunov ecuación dada, ya sea Una o B es una matriz invertible. Me pregunto si alguien que trabaja en la teoría de control puede haber visto tales ecuaciones antes.)

Answer 1

No estoy seguro acerca de los nombres de esta ecuación. Como para resolver esto, puedo decir: es un sistema lineal y no hay una solución en la que $X$ es también simétrica. Siguientes conceptos básicos de la matriz de diferenciación, es el punto crítico de la funcional $$\mathrm{Tr}(AXBX) + \frac{\mathrm{Tr}(CXCX)}2 = \mathrm{Tr}(DX).$$ Esto no es generalmente positiva definida. Si $A$ $B$ son positivas definición y el $C$ término está ausente o pequeño, entonces es positiva definida y puede utilizar convexa de la minimización de los métodos (tales como el gradiente conjugado) para solucionar de $X$. Pero en el caso general, no hubo suerte, aunque simplifica un poco las cuestiones que es simétrica, el sistema lineal (con respecto al producto interior $\langle X,Y \rangle = \mathrm{Tr}(XY)$ para matrices simétricas).

Answer 2

Otra sugerencia es la de reducir la ecuación a una lineal, pero no estoy seguro de si se trata de un método práctico.

Uno puede usar el producto de Kronecker de dos matrices a reescribir la ecuación como $(B^T \otimes A + A^T \otimes B + C^T \otimes C)X = D$, que es una ecuación lineal. Así que si las matrices no son grandes, supongo que uno puede calcular el producto de Kronecker directamente y utilizar eliminación Gaussiana para resolver.

Más de referencia: V. V. Prasolov, Problemas y Teoremas de álgebra Lineal 27.5 (p.123)

Answer 3

Aparte de casos muy especiales (algo que viajen con algo más), por lo que yo sé no hay ningún algoritmo eficiente para este tipo de ecuaciones con más de dos sumandos. (por "eficiente" que significa "mejor que el producto de Kronecker enfoque").

Puede sonar extraño, pero en realidad yo lo sugieren resolver el producto de Kronecker sistema con un método iterativo como SYMMLQ, o CG si es positiva definida. Matriz-vector cuestan los productos de "sólo" $O(n^3)$, y soltando un plazo proporciona una mejor-que-nada preconditioner.

Answer 4

Esta es una ecuación lineal. Como tal, no es difícil de resolver numéricamente los valores específicos de $A, B, C,$$D$.

Como una "forma cerrada" de la solución, utilizando la matriz de exponenciales y similares, como en el de Lyapunov ecuaciones de la teoría de control.... Yo no creo que haya nadie, salvo en casos particulares (si $A$ $C$ conmutar por ejemplo). Los vectores propios del operador $AXB+BXA$ puede ser escrito en términos de los vectores propios de a$A$$B$. Creo que no es así cuando se $C$ está presente, en general.