Una alternativa a prueba de suma de alterna de la serie evalúa a $\frac{\pi}{4}\sec\left(\frac{a\pi}{4}\right)$

Question

¿Cómo hace uno para probar el dado de la serie? $$\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n}{4n-a+2}+\frac{(-1)^n}{4n+a+2}\right)=\frac{\pi}{4}\sec\left(\frac{a\pi}{4}\right)$$

Esta serie surgió en xpaul del cálculo durante el proceso de respuesta a mis deberes problema. Realmente aprecio su ayuda para mí, pero estoy buscando un método para demostrar la anterior serie usando un verdadero método de análisis, ya que el vínculo citó (Ron G la respuesta) para que me ayude a demostrar que se está usando el teorema de los residuos. Trabajé durante un tiempo en este día de hoy, pero no tuvo éxito. $$\begin{align}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n}{4n-a+2}+\frac{(-1)^n}{4n+a+2}\right)&=4\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{2n+1}{(4n+2)^2-a^2}\\&=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{2n+1}{(2n+1)^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}\end{align}$$ Comparando con la serie de Taylor para la secante, la secante hiperbólica, o cualquier otro bien conocido de la serie de formas, pero yo no podía llegar en cualquier de ellos para trabajar, tal vez alguien más puede? Me gustaría una prueba interesante y evitar el residuo método con el fin de completar mi tarea de la respuesta. ¿Me podrías ayudar? Cualquier ayuda se agradece. Gracias de antemano.

Answer 1

$$\begin{eqnarray*}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n}{4n-a+2}+\frac{(-1)^n}{4n+a+2}\right)&=&\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{0}^{1}(-1)^n x^{4n+1}\left(x^a+x^{-a}\right)\,dx \\&=& \int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^4}\left(x^a+x^{-a}\right)\,dx\end{eqnarray*}$$ por lo tanto, tenemos que nuestra integral es igual a: $$ \frac{1}{8}\left(\psi\left(\frac{6+a}{8}\right)-\psi\left(\frac{2+a}{8}\right)+\psi\left(\frac{6-a}{8}\right)-\psi\left(\frac{2-a}{8}\right)\right)$$ pero ya que: $$ \psi(x)-\psi(1-x) = -\pi\cot(\pi x) $$ la línea anterior es igual a: $$ \frac{\pi}{8}\left(\tan\left(\frac{\pi}{8}(a+2)\right)-\tan\left(\frac{\pi}{8}(a-2)\right)\right) $$ que se simplifica a: $$ \frac{\pi}{4}\sec\frac{a\pi}{4}$$ como quería.

Answer 2

Me respondió antes en la forma Cerrada de $\int_{0}^{\infty} \frac{\tanh(x)\,\tanh(2x)}{x^2}\;dx$. Sin embargo, la solución era demasiado largo como Venus mencionado. Inspirado en Jack D'aurizio la respuesta, tengo una solución simple para esto. Es fácil comprobar que \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n}{4n-a+2}+\frac{(-1)^n}{4n+a+2}\right)\\ &=& \int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^4}\left(x^a+x^{-a}\right)\,dx=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{a+1}}{1+x^4}\,dx\\ &=&\frac{1}{a+2}\int_0^\infty\frac{1}{1+x^{\frac{a+2}{4}}}dx. \end{eqnarray*} Ahora, utilizando los siguientes conocido integral $$ \int_0^\infty\frac{1}{1+x^n}dx=\frac{\pi}{n\sin(\pi/n)}, \text{ for }n>1, $$ (ver, por ejemplo, Demostrar $\int_0^{\infty}\! \frac{\mathbb{d}x}{1+x^n}=\frac{\pi}{n \sin\frac{\pi}{n}}$ real utilizando las técnicas de análisis sólo) es fácil obtener la respuesta.