¿Hay algún conocido espacios topológicos para que el grupo fundamental es que no se conocen todavía?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En general, depende de lo que quieres decir por el conocimiento de un grupo. Por ejemplo, el complemento de un nodo es un espacio con un grupo fundamental, el nudo grupo del nudo, dada por la Wirtinger presentación. Por desgracia, muchas de las propiedades de un grupo son indecidible sólo da una presentación de la misma: lo más importante, es indecidible si dos presentaciones presentaciones de un mismo grupo. Así que no está claro si el Wirtinger presentación cuenta como una respuesta a la pregunta "qué sabemos de los grupos fundamentales de todos nudo complementa?"
Como Zach L. alude a ello en los comentarios, la iteración de bucle espacio de construcción de la $\Omega^n X$ (el espacio de la punta de los mapas de una $n$-esfera $S^n$ en la punta de su espacio de $X$) tiene la propiedad de desplazamiento hacia abajo de la mayor homotopy grupos de un espacio:
$$\pi_k(\Omega^n X) \cong \pi_{k+n}(X).$$
En particular, hacer preguntas acerca de los fundamentales de los grupos de $\pi_1(\Omega^n X)$ de iteración de bucle espacios de un espacio es equivalente a la formulación de preguntas acerca de la mayor homotopy grupos $\pi_{n+1}(X)$ de nuestro espacio.
Esto es realmente una buena cosa: la mayor homotopy grupos abelian, y en casos razonables (por ejemplo, si $X$ es simplemente conectado finito CW complejo) son finitely presentado. A diferencia del caso de finitely presentan grupos, finitely presentado abelian grupos son mucho más fáciles de trabajar con algorítmicamente, y es fácil dar una lista completa de los invariantes que describe a un grupo a través de la estructura de teorema y fácil de decir cuando dos de estos grupos no son isomorfos.
En particular, es fácil describir lo que significa que no se sabe como un grupo. Hay una lista finita de números (el número de veces que $\mathbb{Z}$ aparece en el grupo, y el número de veces $\mathbb{Z}_{p^n}$ aparece en el grupo para todos los números primos $p$, y para todos los enteros positivos $n$) que caracterizan a un finitely presentado abelian grupo, y no sabemos el grupo si no conocemos al menos uno de estos números.
En ese sentido, ni siquiera sabemos todos de la más alta homotopy grupos de la $2$-esfera $S^2$! El estudio de la homotopy grupos de esferas es un fundacionales y pregunta muy difícil en homotopy teoría, aunque no puedo dar instrucciones precisas en cuanto a exactamente lo que es y no es conocido. Me imagino que no sabemos, es decir, $\pi_{70}(S^2)$.
