Estoy tratando de mostrar que el cierre de un conjunto compacto en un espacio es compacto, pero yo soy de golpear a algunos obstáculos como un conjunto compacto en un espacio normal no necesita ser cerrado. Esto es lo que empecé: Si $ C $ es cualquier subconjunto compacto, deje $ U $ ser cualquier barrio abierto que contiene a $ C $. A continuación, por la regularidad de $ X $, $ \forall x \in C, \exists V_x : \overset-V_x \subseteq U $ donde $ V_x $ es un barrio de $ x $. Por lo $ \lbrace V_x:x \in C\rbrace $ es una cubierta abierta de C, que por lo compacto de C , que se simplifica a $ \lbrace V_{x_i}:x_i \in C\,\,for\,i=1,...,n\rbrace $. Ahora me terminan buscando en $ \cup \overset-V_{x_i} $ el cual debe contener $ \overset-C $. Pero me quedo atascado aquí. Debo buscar en la intersección lugar??
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sugerencia: Suponga que $\mathcal{U} = \{ U_i : i \in I \}$ es cualquier cubierta de $\overline{C}$ por la apertura de los subconjuntos de a $X$. Para cada una de las $i \in I$ $x \in U_i$ por la regularidad de fijar un conjunto abierto $V_{i,x}$ tal que $x \in V_{i,x} \subseteq \overline{V_{i,x}} \subseteq U_i$. Tenga en cuenta que $$\mathcal{V} = \{ V_{i,x} : i \in I, x \in U_i \}$$ is also a cover of $\overline{C}$ by open subsets of $X$. More importantly, $\mathcal{V}$ covers the compact set $C$.
Lema: Todos los abiertos vecinales $U$ de un conjunto compacto $K$ contiene el cierre de la $\overline K$ así como un barrio cerrado de $K$.
Prueba: Cada $x\in K$ tiene un vecindario $V_x$ tal que $\overline {V_x}\subseteq U$. La familia $\{V_x\mid x\in K\}$ es una cubierta abierta de a $K$ que por compacidad tiene un número finito de subcover $\{V_i,\dots,V_n\}$. Desde el cierre desplazamientos finitos sindicatos, sabemos que $\bigcup_{i=1}^n V_i$ es un barrio de $K$ cuyo cierre $\overline{\bigcup_{i=1}^n V_i}=\bigcup_{i=1}^n\overline {V_i}$ es un subconjunto de a $U$ y contiene $\overline K$.
Corolario: El cierre de un conjunto compacto $K$ es también compacto.
La prueba: Una cubierta abierta de a $\overline K$ es una cubierta abierta de a $K$, por lo que tiene un número finito de subcover que por el lema también cubre $\overline K$.
