¿Qué funciones satisfacen $\sum _{n=1} ^{\infty} x_n < \infty \ \Rightarrow \sum _{n=1} ^{\infty} f(x_n) < \infty $

Question

Me podrían ayudar con este problema?

¿Qué funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ cumplir con los siguientes implicación?

$\sum _{n=1} ^{\infty} x_n < \infty \ \Rightarrow \sum _{n=1} ^{\infty} f(x_n) < \infty $

La condición necesaria para la convergencia de la serie de $\sum _{n=1} ^{\infty} a_n $ es que el $\lim a_n =0$. Pues yo creo que eso $f$ debe ser decreciente.

La serie es convergente $\iff$ $\forall \epsilon>0 \ \ \exists N\in \mathbb{N} \ : \ \forall q \ge p \ge k \ : \ |\sum _{n=p} ^q a_n|< \epsilon$. Pero no sé cómo usarlo. ¿Podría usted ayudarme?

Gracias.

Answer 1

Para una verdadera función con valores de $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$, podemos considerar la siguiente propiedad:

Siempre que $\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ converge para $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subset \Bbb{R}$, la serie $\sum_{n=1}^{\infty} f(x_{n})$ también converge.

Decimos que $f$ propiedad $L$ si $f$ cumple la condición especificada anteriormente.

Si $f$ es lineal en un barrio de $0$, entonces es obvio que tiene la propiedad $L$. Por el contrario, asumir que $f$ propiedad $L$. Podemos demostrar que $f(x)$ es lineal cerca de $0$.

Antes de la prueba, hacemos la observación de que $f(0) = 0$ $f(x_n) \to 0$ siempre $x_n \to 0$.

Paso 1. Debemos tener $f(-x) = -f(x)$ cerca de $x = 0$

Supongamos que no. Entonces existe una disminución de la secuencia monótona $p_k \downarrow 0$ tal que $f(-p_k) \neq -f(p_k)$. Entonces la diferencia de estos dos valores de $d_k = \left|f(p_k) + f(-p_k)\right|$ es positivo. Ahora está claro que podemos elegir una secuencia de números naturales $N_k$ tal que $N_{k+1} d_{k+1} > 3N_k d_k $. Ahora considere la siguiente secuencia:

$$(x_n) = ( \underbrace{p_1, -p_1, \cdots, p_1, -p_1}_{2N_1\text{-terms}}, \underbrace{p_2, -p_2, \cdots, p_2, -p_2}_{2N_2\text{-terms}}, \underbrace{p_3, -p_3, \cdots, p_3, -p_3}_{2N_3\text{-terms}}, \cdots ).$$

Está claro que $\sum_{n=1}^{\infty} x_n = 0$. Pero también tenemos

\begin{align*} \left| \sum_{n=1}^{2(N_{1}+\cdots+N_{m})} f(x_n) \right| &= \left| \sum_{k=1}^{m} N_{k}\left(f(p_k) + f(-p_k)\right) \right| \\ &\geq N_m d_m - (N_{m-1}d_{m-1} + \cdots + N_1 d_1) \\ &\geq N_m d_m - \left(\frac{N_m d_m}{3} + \cdots + \frac{N_m d_m}{3^{m-1}} \right) \\ &\geq \frac{1}{2}N_m d_m \geq \frac{3^{m-1}}{2}N_1 d_1, \end{align*}

que diverge claramente como $m \to \infty$. Por lo tanto, $f(-x) = -f(x)$ cerca de $x = 0$.

Paso 2. $f$ es lineal cerca de $x = 0$.

Supongamos que no. Entonces existe una secuencia de números reales $(p_k)$ tal que $\left| p_k \right| \downarrow 0$ y

$$ \frac{f(p_k)}{p_k} \neq \frac{f(p_{k+1})}{p_{k+1}}. $$

Tenga en cuenta que podemos suponer, por la elección de un adecuado larga, que $0 < p_k < 1$,$\left| f(p_k) \right| < 1$,$\sum p_k < \infty$.

Ahora queremos construir una secuencia $(x_n)$ tal que $\sum_{n=1}^{\infty} x_n $ converge mientras que $\sum_{n=1}^{\infty} f(x_n)$ diverge. Para ello, necesitamos el siguiente lema:

Lema. Dados dos números positivos $p > q > 0$, supongamos que existe dos enteros positivos $a$ $b$ tal que $\left|ap - bq\right| \leq 2p$. Vamos $$ (r_{1}, \cdots, r_{a+b} ) = ( \underbrace{p, \cdots, p}_{a\text{-temrs}}, \underbrace{-q, \cdots, -q}_{b\text{-temrs}} )$$ Entonces existe un reordenamiento $(r'_k)$ $(r_k)$ tal que $$ \left| \sum_{k=1}^{m} r'_k \right| \leq 2p $$ para todos los $1 \leq m \leq a+b$. Es decir, si $ap - bq$ es comparable a $p$, entonces podemos cambiar el orden de la suma de lo que cada suma parcial es también comparable a $p$.

Damos un bosquejo de la prueba al final de esta respuesta.

Ahora, para cada una de las $k$, nos encontramos con que $(p_k, p_{k+1})$ $(f(p_k), f(p_{k+1}))$ no son paralelas, la formación de una base de $\Bbb{R}^2$. Así, podemos encontrar dos números reales positivos $a'_k$ $b'_k$ tal que

$$ a'_k p_k - b'_k p_{k+1} = 0 \quad \text{and} \quad \left| a'_k f(p_k) - b'_k f(p_{k+1}) \right| = 3^{k}. $$

Ahora vamos a $a_k = \langle a'_k \rangle$ $b_k = \langle b'_k \rangle$ ser un entero más cercano de $a'_k$$b'_k$, respectivamente. Entonces tenemos

$$ \left| a_k p_k - b_k p_{k+1} \right| \leq 2p_{k} \quad \text{and} \quad \left| \left| a_k f(p_k) - b_k f(p_{k+1}) \right| - 3^{k} \right| \leq 2. $$

Poner $N_k = a_k + b_k$ por simplicidad de notación. Deje $(r'_{k,1}, \cdots, r'_{k,N_k})$ ser un reordenamiento de la secuencia de $(p_{k}, \cdots, p_{k}, -p_{k+1}, \cdots, -p_{k+1})$ obtenido por Lema, y vamos a

$$ (x_n) = ( \underbrace{r'_{1,1}, \cdots, r'_{1, N_1}}_{k=1}, \underbrace{r'_{2,1}, \cdots, r'_{2, N_2}}_{k=2}, \underbrace{r'_{3,1}, \cdots, r'_{3, N_3}}_{k=3}, \cdots ) $$

ser la secuencia obtenida mediante la concatenación de los reordenamientos en orden creciente de $k$. A continuación, para $N_1 + \cdots + N_{k-1} < m < l$, tenemos

$$ \left| \sum_{n=m}^{l} x_{n} \right| \leq 2\left( p_{k} + p_{k+1} + \cdots \right). $$

Esto muestra que las sumas parciales de $(x_n)$ es de Cauchy, por lo tanto $\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ converge. Por otro lado, tenemos

\begin{align*} \left| \sum_{n=1}^{N_1+\cdots+N_k} f(x_{n}) \right| &\geq \left| a_{k}f(p_{k}) - b_{k}f(p_{k+1}) \right| \\ &\qquad - \left( \left| a_{1}f(p_{1}) - b_{1}f(p_{2}) \right| + \cdots + \left| a_{k-1}f(p_{k-1}) - b_{k-1}f(p_{k}) \right| \right) \\ &\geq 3^{k} - 2 - \left( (3 + 2) + \cdots + (3^{k-1} + 2) \right) \\ &\geq \frac{3^{k}}{2} - 2k. \end{align*}

Esto demuestra que $\sum_{n=1}^{\infty} f(x_{n})$ no converge, es una contradicción! Por lo tanto, $f$ es lineal cerca de $x = 0$.

Croquis de la prueba. Para cada permutación $\sigma$$\{1, \cdots, a+b\}$, podemos asociar una tramos función lineal $p_{\sigma}(x)$ $[0, a+b]$ como sigue:

• $p_{\sigma}(m) = \sum_{k \leq m} r_{\sigma(k)}$ $m = 0, \cdots, a+b$.
• La gráfica de $y = p_{\sigma}(x)$ es la poligonal camino de unirse a $(0, 0), (1, p_{\sigma}(1)), \cdots, (a+b, p_{\sigma}(a+b))$.

Ahora, a partir de la gráfica de $y = p_{\mathrm{id}}(x)$, se pliegan hacia abajo en cada local máximo de la gráfica de $y = p_{\mathrm{\sigma}}(x)$ como sigue:

Si $y = p_{\mathrm{\sigma}}(x)$ máximo local con valor de $\geq 2p$$k$$[k-1, k+1] \subset [0, a+b]$, luego tenemos a $r_{\sigma(k)} = p$$r_{\sigma(k+1)} = -q$. Ahora el intercambio de estos dos valores, por lo que el $x = k$ reduce a un mínimo local. Repita este proceso hasta que todos los locales de extremo se encuentra dentro de la banda de $[-2p, 2p]$. Con el resultado de la permutación $\sigma$, $r'_k = r_{\sigma(k)}$ es un reordenamiento con la propiedad deseada.

La siguiente animación es una simulación con $(p, q) = (1, 1/\sqrt{2})$$(a, b) = (10, 14)$.