Fermat Reto de la composición de los números

Question

En su carta a Carcavi " (agosto de 1659), Fermat menciona el siguiente reto

No hay ningún número, uno menos que un múltiplo de $3$, compuesta de un la plaza y el triple de otro cuadrado.

Él dice que él lo ha resuelto mediante infinito descenso. El siguiente problema que se le propone, en la misma carta, también se resuelve por lo infinito descenso (que fue descubierto en su copia de Diophantus Arithematica).

Sin embargo, esta pregunta no es muy clara para mí, como para lo que se pide demostrar aquí. Puede alguien por favor reiterar que el uso de las modernas notaciones y proporcionar una prueba utilizando Infinito Descenso?

Gracias de antemano.

Answer 1

No del todo seguro...pero parece que la pregunta es "Mostrar que, si $n=3k-1$ $n$ no puede ser expresado como $a^2+3b^2$ para los números enteros $a,b$".

Pero, que es obviamente cierto (ya que implicaría que $-1$ era un cuadrado $\pmod 3$, lo que no es).

Answer 2

Esta carta a carcavi " no se conserva; lo que sí tenemos es una copia de la parte principal de la carta, de hecho, creo que, por Huygens. Creo que Huygens malinterpretación de Fermat declaración, ya que Fermat no habría incluido un trivial en una carta que puede ser visto como su número teórico testamento. Lo que Fermat probablemente escribió es que los números divisibles por algunos de los mejores de la forma $3n-1$ no puede ser escrita en la forma $x^2 + 3y^2$, y esto puede ser demostrado por infinito descenso en la forma usual (ver http://mathoverflow.net/questions/88539/sums-of-rational-squares).

Answer 3

Infinito Descenso no es necesario.

Bueno en primer lugar, tenga en cuenta que todos los cuadrados tienen una forma de $3m$ o $3m+1$.

Puede observarse que, a continuación,

$$a^2 + 3b^2 \neq 3k -1$$

Ver que el lado derecho es de la forma $3k_1+2$.

$3b^2$ es un múltiplo de 3, por lo $a^2$ debe ser de la forma $3m+2$ que no es posible.