¿Por qué la capacidad de canal es un factor de ancho de banda en vez de frecuencia?

Question

Estoy tratando de entender el concepto de capacidad para un canal inalámbrico. Cualquier ayuda sería apreciada.

Para un canal AWGN, la capacidad se calcula como:

$$C = B \cdot log_2(1 + S/N)\text{ bits/seg}$$

B = ancho de banda. Esto es lo que no entiendo. ¿Por qué no es un factor de la frecuencia? Para mí, considerar solo el ancho de banda solo tiene sentido en casos donde el sistema cambia de frecuencia.

1. El ancho de banda es la diferencia entre un rango de frecuencia superior e inferior. Bueno, ¿qué pasa si estoy usando una señal de frecuencia fija? ¿Fupper y Flower tendrían el mismo valor, verdad? ¿Significa eso que B=0? ¿Entonces una señal de frecuencia fija no puede llevar ningún dato? Sabemos que eso no es cierto, la radio AM lo hace. ¿Qué me estoy perdiendo?

2. Según esta fórmula, una señal de frecuencia fija tendría el mismo rendimiento independientemente de si está en alta o baja frecuencia. Eso no tiene sentido para mí. Por ejemplo, digamos que mi ancho de banda es de 1Hz a una frecuencia fija de 1Hz. Compara esto con un ancho de banda de 1Hz a una frecuencia de 2.4GHz. Es obvio que puedo meter muchos más bits en 2.4 x 109 ciclos por segundo que en solo 1/segundo. Pero según esta fórmula no puedo. Ayuda, por favor.

3. ¿Qué pasa con las diferencias fraccionarias? Las formas de onda son analógicas en su naturaleza, por lo que podríamos tener una señal de 1Hz y una señal de 1.5Hz. De igual manera en el rango de altas frecuencias. Digamos 2.4GHz menos 0.5Hz. Hay un espacio infinito entre 1 y 1.5. ¿No podrían 1Hz y 1.001Hz servir como dos canales separados? En términos de practicidad, me doy cuenta de que sería difícil, casi imposible medir esta diferencia con la electrónica moderna, especialmente con el ruido añadido, pero en teoría pura podrías tener dos canales. Entonces, en ese sentido, ¿no debería haber una cantidad infinita de ancho de banda entre dos frecuencias? ¿O solo contamos en incrementos de números enteros de 1Hz?

Answer 1

Dudo si puedo contestar todas tus preguntas, pero lo intentaré:

Bueno, ¿qué pasa si estoy usando una señal de frecuencia fija? ¿Fupper y Flower serían el mismo valor, verdad? ¿Entonces significa que B=0? ¿Una señal de frecuencia fija no puede llevar datos? Entonces, ¿qué me estoy perdiendo?

Una señal de una sola frecuencia sería un tono continuo. Su amplitud nunca cambiaría. Simplemente continuaría repitiéndose para siempre. Por lo tanto, no transmitiría ninguna información.

Cuando comienzas a modular tu portadora, el espectro de tu señal ya no es una sola frecuencia. Según la fórmula de modulación de amplitud, el espectro de la señal modulada es la convolución de la portadora (una sola frecuencia) y la señal moduladora (normalmente, conteniendo energía en una banda alrededor de 0 Hz).

Por lo tanto, la señal de salida modulada contiene energía en una banda alrededor de la portadora, no solo en la frecuencia única (portadora).

Sabemos que no es cierto, la radio AM lo hace.

Cada estación de AM entrega energía no solo en la frecuencia de la portadora, sino también en una banda alrededor de esa frecuencia. Una emisión de radio AM no es un ejemplo de una señal de una sola frecuencia.

Es evidente que puedo meter muchos más bits en 2.4*10^9 ciclos por segundo de lo que puedo hacer con solo 1/segundo.

Ciertamente podrías. Sin embargo, si simplemente modulas tu portadora de 2.4 GHz con una señal de información que abarca 2.4 GHz, el ancho de banda de la señal resultante sería casi de 2.4 GHz. La energía en la señal se dispersaría de 1.2 a 3.6 GHz.

Sin embargo, hay una forma de evitar esto...

¿Qué tal diferencias fraccionales? Las formas de onda son analógicas, entonces podríamos tener una señal de 1Hz y una señal de 1.5Hz. Lo mismo en el rango de alta frecuencia. Digamos 2.4GHz menos 0.5Hz. Hay una cantidad infinita de espacio entre 1 y 1.5. ¿No podrían 1Hz y 1.001Hz servir como dos canales separados?

Pueden, pero solo intercambiando el término SNR en la fórmula de Shannon-Hartley por el término de ancho de banda. Es decir, la fórmula muestra que hay dos formas de aumentar la capacidad de la señal: Aumentar el ancho de banda o aumentar la relación señal-ruido.

Entonces, si tuvieras una relación señal-ruido infinitamente alta, podrías usar 0.001 Hz de ancho de banda para llevar tanta información como desees.

Pero en la práctica, la función logarítmica alrededor del SNR significa que hay rendimientos decrecientes para aumentar el SNR. Más allá de cierto punto, grandes incrementos en SNR proporcionan poca mejora en la capacidad del canal.

Se utilizan dos formas típicas de esto:

• En la codificación AM multinivel, en lugar de simplemente enviar la portadora o no enviarla en un intervalo de bits, podrías tener 4 niveles de amplitud diferentes que se pueden enviar. Esto permite codificar dos bits de información en cada intervalo de bits y aumenta los bits por Hz por un factor de dos. Pero se requiere un SNR más alto para poder distinguir consistentemente entre los diferentes niveles.

• En la radiodifusión en FM, el ancho de banda de la señal de transmisión es más amplio que la señal de audio que se lleva. Esto permite que la señal sea recibida con precisión incluso en condiciones de bajo SNR.

¿No podrían 1Hz y 1.001Hz servir como dos canales separados? En términos de practicidad, me doy cuenta de que esto sería difícil, casi imposible de medir esta diferencia con la electrónica moderna

De hecho, es bastante fácil distinguir 1 Hz de 1.001 Hz con la electrónica moderna. Simplemente necesitas medir la señal durante algunos miles de segundos y contar el número de ciclos.

Entonces, en ese sentido, ¿no debería haber una cantidad infinita de ancho de banda entre dos frecuencias?

No. Entre 1.00 Hz y 1.01 Hz hay exactamente 0.01 Hz de ancho de banda. No necesita ser contado en números enteros de Hertz, pero solo hay tanto ancho de banda entre dos frecuencias como la diferencia entre esas frecuencias.

Editar

Por lo que estás diciendo, ¿la B en la ecuación de Shannon no tiene nada que ver con la frecuencia de la portadora? ¿Es solo el ancho de banda de modulación?

Essencialmente sí. B es el ancho de banda, o el rango de frecuencias sobre el cual el espectro de la señal tiene energía.

Podrías usar una banda de 1 MHz alrededor de 10 MHz, o una banda de 1 MHz alrededor de 30 GHz, y la capacidad del canal sería la misma (dado el mismo SNR).

Sin embargo, en los casos más simples, como la modulación de amplitud de doble banda lateral, la portadora tiende a situarse en el medio de la banda de señal. Entonces, si tienes una portadora de 1 kHz, con la modulación de doble banda lateral, solo puedes esperar usar el ancho de banda de 0 a 2 kHz.

Obviamente, la banda lateral única no sigue esta regla.

Una señal de información que abarca 2.4GHz, ¿qué significa esto?

Quiero decir que el espectro contiene energía en una banda de 2.4 GHz.

Si tuvieras un filtro de banda estrecha y un detector de potencia de RF, podrías detectar energía en la señal en cualquier frecuencia dentro de la banda.

¿Estás hablando de la onda de portadora ahora?

No. La portadora es una sola frecuencia. La señal completa contiene energía en una banda de frecuencias alrededor de la portadora. (Nuevamente, la banda lateral única empuja toda la señal a un lado de la portadora; además, la AM de portadora suprimida elimina la mayor parte de la energía en la frecuencia de la portadora)

Si N->0, C se acercará a infinito. Entonces, ¿en teoría se puede codificar una cantidad infinita de datos en una sola onda?

En principio, sí, variando (por ejemplo) la amplitud en pasos infinitesimalmente pequeños y de forma infinitesimalmente lenta.

En la práctica, el término SNR tiene esa función logarítmica alrededor y hay rendimientos decrecientes para aumentar el SNR, y también hay razones físicas fundamentales por las cuales el ruido nunca llega a cero.

Answer 2

1 y 2) La B de ancho de banda no incluye la frecuencia portadora. Si eliminas la frecuencia portadora común de tu señal y terminas con cero, entonces sí, tu tasa de datos es cero. Una frecuencia constante es infinita en el dominio del tiempo. Si estás pensando que la ausencia de una frecuencia es parte de los datos, eso significa que tu frecuencia más baja es cero. Piénsalo para tus ejemplos con 1Hz y 2.4GHz. En un sistema de 1Hz necesitas esperar un segundo antes de saber que otro ciclo no está pasando y se puede significar como un cero (arbitrariamente). En un sistema de 2.4Ghz solo necesitas esperar 42 nanosegundos antes de poder declarar un cero. El ancho de banda ha aumentado.

3) Teóricamente hay un número infinito de canales. Por lo tanto, dado un constelación lo suficientemente grande, un ancho de banda infinito. Pero, como señalas, esto es prácticamente imposible.