La estimación de la tasa de volar de una ODA

Question

Supongamos que tengo una ecuación diferencial $x'=f(x)$ $f(x)>0$ crece super-lineal. I. e., $\lim_{|x| \rightarrow \infty} |f(x)|/|x| \rightarrow \infty$.

Varias preguntas relacionadas con: (1) puedo concluir golpe de una solución para algunas condiciones iniciales? (2) a Través de la serie de taylor, o lo que sea relevante aproximaciones de $f(x)$, podemos estimar la tasa de volar? Y (3), de nuevo por aproximación, podemos estimar dada una condición inicial cuando este golpe se produce?

Tengo en mente $x'=x^p$ a que la solución de $x=[(1-p)t-C]^{-1/(p-1)}$. No hay tiempo finito golpe de fin de $O(t^{1/(p-1)})$. Dada una condición inicial $x(0)=X$, tenemos volar ocurrir en $X^{1-p}/(p-1)$.

Answer 1

Las condiciones que han de 'superlinearity' no son suficientes para finito de tiempo de explosión. Por ejemplo, $x' = x \log x$ con condición inicial $x(0) > 1$. Esta ecuación crece superlinearly, y que sin embargo no presentan finito de tiempo voladura (para resolverlo, el cambio de variables a $y = \log x$ y solucionar $y' = y$, luego de vuelta-suplente).

La idea es valido, sin embargo, si usted permite que un poco más de crecimiento (por ejemplo, $|f(x)|/|x|^{1+\epsilon} \rightarrow \infty$ fijos $\epsilon > 0$). Entonces se podría concluir finito estallido tiempo mediante la comparación de la solución a $x' = f(x)$ con la solución a $x' = |x|^{1+\epsilon/2}$, por ejemplo, que hace estallar.

Yo tendría cuidado con la serie de Taylor. Especialmente si $f > 0$, su solución es probable que aumente de forma indefinida, en cuyo caso los términos arbitrariamente lejos en la expansión de taylor van a dominar la dinámica. Usted puede estar seguro, sin embargo, si todos los coeficientes en la expansión son positivos.

Answer 2

Con condición inicial $x(0)=X$, la solución para la ecuación diferencial que satisface $$ \int_X^{x(t)}\frac{dy}{f(y)} = t, $$ as one can check by differentiating both sides and using the chain rule. The necessary and sufficient condition for blow-up at a finite time $T$, meaning $x(t)\to\infty$ as $t\T$ desde abajo, es entonces que $$\int_X^\infty \frac{dy}{f(y)}=T.$$

Una explícita asintótica estimación está disponible para $T$ $X$ llega a ser grande si $f$ es "regularmente variando con exponente $p>1$". Esto significa que $f$ es casi una ley de potencia, en el sentido de que $$f(y)=y^p L(y) \quad\mbox{ where }\quad \frac{L(cy)}{L(y)}\to 1$$ como $y\to\infty$ por cada $c>0$. Para, a continuación, se puede deducir que como $X\to\infty$, el blow-up de tiempo $$ T = \int_X^\infty \frac{dy}{y^p L(y)} = \frac{X}{X^pL(X)}\int_1^\infty \frac{L(X)}{L(Xz)}\frac{dz}{z^p} \sim \frac{X^{1-p}}{L(X)} \frac{1}{p-1}. $$ Para justificar el último paso necesario para utilizar algunos de los hechos básicos demostrado en los libros de forma regular diferentes funciones, tales como las de Seneta o Bingham, Goldie y Teugels. En particular, (i) la convergencia $L(X)/L(Xz)\to1$ se produce de manera uniforme para $z$ en cualquier conjunto compacto, y (ii) no hay un uniforme enlazado $L(X)/L(Xz)\le Cz^\epsilon$ independiente de $X$, para cualquier $\epsilon>0$.