Cuando podemos cambiar $\int$ $\sum$ para obtener la integral indefinida?

Question

Sé, por ejemplo, que si la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ compuesto de funciones integrables en un intervalo cerrado $[a, b] \subset \mathbb{R}$ converge uniformemente en que intervalo cerrado, entonces su suma también es integrable en a $[a, b]$ $$\int_a^b \left(\sum_{n=1}^{\infty}f(x)\right)\, dx=\sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b f_n(x)\, dx.$$

O, Beppo-Levi lema (estamos trabajando en $(X, \mathfrak{M}, \mu))$: Vamos a $f_n:X \to [0,+\infty]$ ser la secuencia de funciones medibles en $X$. A continuación, para cada conjunto medible $A \subset X,$ $$\int_A \sum_{n=1}^{\infty} f_n \, d\mu =\sum_{n=1}^{\infty} \int_A f_n d\mu.$$

Y propuesta similar.

Pero, estamos trabajando aquí con definitiva integrales. Mi pregunta es: ¿Qué podemos decir si estamos trabajando con indefinido integrales. Es esto siempre así, o tenemos algunas restricciones?

Answer 1

Como el nombre sugiere, no hay una integral indefinida.

Por simplicidad se asume que el $f_n$ es continua y que $\sum f_n$ converge uniformemente en $[a,b]$ a una función continua $f$. Deje $F_n$ $F$ ser indefinida integrales de $f_n$ $f$ respectivamente. Si entiendo tu pregunta, quieres saber si $F=\sum F_n$. La respuesta en general es no. Tenemos $$ F_n(x)=c_n+\int_a^xf_n(t)\,dt,\qquad F(x)=c+\int_a^xf(t)\,dt. $$ para algunas constantes $c_n$$c$. Es cierto que bajo estas condiciones $$ \sum_n\int_a^xf_n(t)\,dt=\int_a^x\Bigl(\sum_nf_n(t)\Bigr)\,dt=\int_a^xf(t)\,dt. $$ Pero ya que las constantes $c_n$ puede ser elegido arbitrariamente, no hay ninguna razón para esperar que ese $\sum_nF_n$ converge, o que si converge, la suma es $F$.

El resultado será verdadero en virtud de la condición adicional de $\sum_nF_n(x_0)=F(x_0)$ algunos $x_0\in[a,b]$.

Answer 2

Un conocido de cálculo teorema dice: Si $F_n:\>[a,b]\to{\mathbb R}$ es una secuencia de funciones diferenciables que converge en el punto de $\xi\in[a,b]$, y si la secuencia de derivados $f_n:=F_n'$ converge uniformemente en $[a,b]$ a alguna función $f:\>[a,b]\to{\mathbb R}$ $F_n$ convergen en el hecho de manera uniforme en $[a,b]$ a alguna función $F$, y uno ha $F'=f$.

Dado que este teorema y la secuencia de $(f_n)_{n\geq1}$ podemos arreglar un punto de $\xi\in \ ]a,b[\ $ y elegir para todos los $n\geq1$ el particular primitivo de $f_n$ que se desvanece en $\xi$. El$F_n$, por lo que determinó satisfacen las hipótesis del teorema anterior, y la conclusión deseada de la siguiente manera.