Probabilidad de obtener todas las caras de un dado el mismo número de veces

Question

Tengo una pregunta:

Se lanza un dado 36 veces.

¿Cuál es la probabilidad de obtener cada número 6 veces?

Creo que la respuesta es: $6\cdot\left(\frac16\right)^6$

¿Me equivoco?

Answer 1

La respuesta que da es incorrecta. Hay 6 sucesos que quieres que ocurran, tirando cada número 6 veces, así que multiplicas sus probabilidades. Además, hay muchas formas de que esto ocurra, así que multiplicamos por el número de formas de disponer las tiradas del dado. Esto da:

$$ \left(\frac{1}{6}\right)^{36} \frac{36!}{(6!)^6}$$

Answer 2

Está distribuida multinomialmente con $n=36$ ; $x_i=6$ y $p_i=1/6$ para $i=1,2,..,6$ Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_distribution . Por tanto, la probabilidad es $$ P=\frac{36!}{6!6!6!6!6!6!}\cdot \left( \frac{1}{6} \right)^6\left( \frac{1}{6} \right)^6\left( \frac{1}{6} \right)^6\left( \frac{1}{6} \right)^6\left( \frac{1}{6} \right)^6\left( \frac{1}{6} \right)^6$$ que puede simplificarse en $$ P=\frac{36!}{6!6!6!6!6!6!}\cdot \left( \frac{1}{6^{36}} \right)$$ No sé si esto se puede simplificar más pero no se parece a tu resultado, ¡lo siento!

Answer 3

Número total de resultados:

$$6^{36}=10314424798490535546171949056$$

---

Número de resultados deseados:

$$\frac{36!}{6!^{6}}=2670177736637149247308800$$

---

Probabilidad:

$$\frac{2670177736637149247308800}{10314424798490535546171949056}\approx0.02589\%$$

Answer 4

Entre los 36 resultados, necesitamos que cada número aparezca 6 veces. Esto puede ocurrir en $$\frac{36!}{(6!)^6}$$ formas. Para cada una de estas secuencias, la probabilidad es $\frac{1}{6^{36}}$ . Por lo tanto, la probabilidad requerida es $$\frac{36!}{(6!)^6}\frac{1}{6^{36}}$$

Answer 5

Una interpretación combinatoria del coeficiente multinomial es la # de formas de poner n objetos distintos en b contenedores, con k_1 objetos en el primer contenedor, k_2 objetos en la segunda bandeja, y así sucesivamente.

Así, la expresión más sencilla parece ser

$$\binom{36}{6,6,6,6,6,6}\over 6^{36}$$