Si dos de Riemann colectores pueden ser isométricamente inmerso en cada uno de los otros, son los isométricos?

Question

Deje $M,N$ ser suave compacto orientado de Riemann colectores con el límite. Suponga que tanto $M,N$ puede ser isométricamente inmersos el uno en el otro.

Debe $M,N$ ser isométrica?

Nada cambia si también asumimos $\operatorname{Vol}(M)=\operatorname{Vol}(N)$?

Nota: asumo $M,N$ están conectados (de lo Contrario, como se ha mencionado por Del, podemos tomar $N$ a dos disjuntos copias de $M$).

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Por supuesto, si ambos colectores pueden ser isométricamente incrustado en cada uno de los otros, entonces son isométricos.

Esto se desprende de volumen consideraciones:

Supongamos $i:M \to N,j:N \to M$ son isométrica incrustaciones. A continuación, $i(M),M$ son isométrica, por lo tanto $\operatorname{Vol}(M)=\operatorname{Vol}(i(M))\le \operatorname{Vol}(N)$. Del mismo modo, $\operatorname{Vol}(N)\le \operatorname{Vol}(M)$. Por lo tanto, $\operatorname{Vol}(i(M))=\operatorname{Vol}(N)$. Desde $i(M)$ es compacta, es un subconjunto cerrado de $N$. Por lo tanto, si $i(M) \neq N$, $N\setminus i(M)$ es abierta, así que tiene un resultado positivo en volumen, contradiciendo $\operatorname{Vol}(i(M))=\operatorname{Vol}(N)$. Esta muestra $i,j$ son surjective, así isometrías.

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Updades y Observaciones:

$(1) \,$ Si $M$, $N$ no tienen límites, la respuesta es positiva. Esto se deduce fácilmente a partir de una métrica argumento.

Deje $i:M \to N, j:N \to M$ ser el dado isométrica de inmersiones. A continuación, $i(M)$ es clopen en $N$, por lo tanto $i$ es surjective. Del mismo modo, $j$ es surjective.

Una posible generalización para el caso de los límites:

Asumiendo que cada liso orientación de la preservación de inmersión isométrica mapas de contorno en contorno (ver esta pregunta), sabemos que $j \circ i(\partial M) \subseteq \partial M$, por lo que podemos imitar el argumento anterior para este caso:

En primer lugar, tomamos nota de $i(\partial M) \subseteq \partial N$ (desde $j(N^0) \subseteq M^0$). De ello se desprende $i(M^o)$ es clopen en $N^o$, por lo tanto $i(M^o)=N^o$. Desde $i(M)$ es cerrado en $N$, y contiene el subconjunto denso $N^o$, $i$ es surjective, y por otra parte $i(\partial M) = \partial N , i(M^o)= N^o$.

Por simetría, $j$ es surjective, y el mismo argumento que en el caso anterior implica $j \circ i:M \to M $ es un surjective inextensible mapa, por lo tanto una métrica isometría. A continuación, el $1$-Lipschitzity de $i,j$ implica $i$ es una métrica de isometría. Así que, por la respuesta positiva a esta pregunta $i$ es un buen Riemann isometría.

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$(2)$ Es suficiente para probar que una orientación preservación de la inmersión isométrica $M \to M$ es una de Riemann isometría. (y, en particular, los mapas de $\partial M$ a $\partial M$).

De hecho, vamos a $i:M \to N, j:N \to M$ ser el dado inmersiones y asumir la instrucción anterior se mantiene. A continuación, $j \circ i:M \to M$ es una isometría, y por lo $j \circ i(\partial M) = \partial M$. Esto implica que $i(\partial M) \subseteq \partial N$ (desde $j(N^0) \subseteq M^0$).

También, $j \circ i:M \to M$ es una isometría $\Rightarrow$ $i$ es inyectiva y $j$ es surjective. Por simetría, $i,j$ son bijections.

Ya sabemos que $i(\partial M) \subseteq \partial N , i(M^o)\subseteq N^o$, e $i$ es surjective de ello se sigue que $i(\partial M) = \partial N , i(M^o)= N^o$. Desde $i$ es en particular una métrica isometría, la respuesta positiva a esta pregunta, muestra $i^{-1}$ es suave, por lo tanto $i$ es una de Riemann isometría.

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\vol}{vol}\newcommand{\Bar}[1]{\overline{#1}}$tl; dr: Sí, $M$, e $N$ son isométrica, asumiendo única y exclusivamente la que cada uno está conectado, completa, y de volumen finito.

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Lema 1: Si $(M, g)$ es una completa Riemann colector, $(N, h)$ está conectado a un colector de Riemann, y $\dim M = \dim N$, luego de una inmersión isométrica $i:(M, g) \to (N, h)$ es un surjective cubriendo mapa.

Prueba: La imagen de $i(M)$ está abierto (porque $i$ es una inmersión isométrica, por lo tanto, un local diffeomorphism) y cerrado (porque $(M, g)$) y no está vacío, por lo tanto igual a $N$ (desde $N$ está conectado).

Deje $(\Bar{M}, \Bar{g}) = (M, g)/i$ el valor del cociente de Riemann. Es decir, definir una relación de equivalencia en $M$ $p \sim p'$ si y sólo si $i(p) = i(p')$. Desde $i$ es una inmersión isométrica y $\dim M = \dim N$, el cociente adquiere la estructura de un suave Riemann colector isométrica a $(N, h)$. Deje $\pi:M \to \Bar{M}$ el valor del cociente de mapa.

Deje $q$ ser un punto arbitrario de $\Bar{M}$, e $V_{r} = V_{r}(q) \subset (\Bar{M}, \Bar{g})$ de la línea geodésica de la bola de radio $r$$q$. Fijar un punto de $p \in \pi^{-1}(q)$ arbitrariamente, y elija $r > 0$ suficientemente pequeño como para que $U_{r}(p) \subset (M, g)$, la geodésica de la bola de radio $r$$p$, se asigna isométricamente a$V_{r}$$\pi$.

Para completar la prueba, es suficiente para mostrar que $\pi^{-1}(V_{r})$ es un discontinuo de la unión geodésica de bolas, cada una asignada isométricamente a$V_{r}$$\pi$. Con la notación en el párrafo anterior, $U_{r}(p) \subset \pi^{-1}(V_{r})$. Por el contrario, si $x$ es un punto de $\pi^{-1}(V_{r})$, por lo que el $\Bar{x} = \pi(x) \in V_{r}$, hay un mínimo de geodésica $\Bar{\gamma}$ unirse a $\Bar{x}$$q$. Desde $\pi$ es una isometría local, de la línea geodésica $\gamma$ que comienza a las $x$ y satisface $\pi_{*}\gamma'(0) = \Bar{\gamma}'(0)$ es un ascensor: $\Bar{\gamma} = \pi \circ \gamma$. En consecuencia, $\gamma$ se une a $x$ a algún punto de $p$$\pi^{-1}(q)$. Desde $d(x, p) = d(\Bar{x}, q) < r$,$x \in U_{r}(p)$.

Lema 2: Si $(M, g)$ $(N, h)$ son de Riemann colectores con $(M, g)$ conectado, completa y de volumen finito, y si existen inmersiones isométricas $i:M \to N$$j:N \to M$, $j \circ i:M \to M$ es una isometría

Prueba: Supongamos $i:M \to N$ $j:N \to M$ son inmersiones isométricas. (En particular, $\dim M = \dim N$.) La composición de la $j \circ i:M \to M$ es una inmersión isométrica, por tanto, por el Lema 1 cubrir con un mapa, por ejemplo, con $d$ hojas, por lo que el $\vol(M) = d\vol(M)$. Desde $\vol(M)$ es finito, $d = 1$. Es decir, $j \circ i$ es un diffeomorphism así como un local de isometría, por tanto, una isometría.

Corolario: Si $(M, g)$ $(N, h)$ son completos, conectado, finito-volumen de Riemann colectores, y si existen inmersiones isométricas $i:(M, g) \to (N, h)$$j:(N, h) \to (M, g)$, $i$ $j$ son isometrías.

Prueba: Por el Lema 2, $j \circ i$ es bijective, por lo $j$ es surjective y $i$ es inyectiva. Invirtiendo los roles, $i \circ j$ es bijective, por lo $i$ es surjective y $j$ es inyectiva. Es decir, cada una de las $i$ $j$ es un bijective isométrica de inmersión, por lo tanto una isometría.

Answer 2

Aquí están algunas observaciones con respecto a la pregunta en cuestión (supongo que esto iba a ser un comentario, si yo tenía la reputación suficiente para escribir un comentario, pero uno tiene que empezar en alguna parte...) :

Si los volúmenes son iguales y $f:M\to N$ es surjective, entonces también es inyectiva en el interior de $M$. En efecto, mediante la fórmula del área, $$ \text{Vol}M = \int_M |\det df_x|\,\text{dVol}_g(x) = \int_N |f^{-1}(y)|\,\text{dVol}_h(y) $$ donde $g$ es la métrica de $M$, $h$ es la métrica de $N$ $\det df$ es el valor intrínseco de determinante (la relación entre el volumen de formularios), que es igual a $1$ para una inmersión isométrica. Si $f$ es surjective, a continuación, en la parte derecha es, al menos,$\text{Vol}N$, y por lo tanto el volumen de la igualdad muestra que el conjunto de $\{ y\in N: |f^{-1}(y)|>1\}$ es de volumen cero. Desde $f$ es una isometría local, se deduce que el $f$ es inyectiva en el interior de $M$ (de lo contrario, si se asigna dos puntos en el mismo punto, sería mapa de dos de sus vecindarios para el mismo barrio en contradicción). Por lo tanto, $f$ isométricamente incrusta $\text{int}\, M$ a $\text{int}\, N$.

Esto resuelve el problema para el cerrado de los colectores, ya que en este caso $f(M)$ es clopen, y por lo tanto todo el $N$, como se señaló en los comentarios de arriba. Por la misma razón por la que resuelve el problema en el caso de que usted sabe que $f$ mapas de frontera a frontera, debido a que $f(\text{int}\,M)$ es cerrado en $\text{int}\,N$.

Edit: se ha corregido un pequeño error (antes de que me escribió que sujectivity implica la inyectividad en lugar de inyectividad en el interior).

Answer 3

Aquí es una alternativa a prueba, que no suponga que los volúmenes son iguales para el caso de que $M$, $N$ no tienen límites.

Deje $i:M \to N, j:N \to M$ ser el dado isométrica de inmersiones. A continuación, $i(M)$ es clopen en $N$, por lo tanto $i$ es surjective. Del mismo modo, $j$ es surjective.

$j \circ i$ es entonces un surjective inextensible ($1$-Lipschitz) mapa de $M$ a sí mismo. (Esto se deduce del hecho de que la inmersión isométrica no puede aumentar las distancias, ya que conserva las longitudes de las rutas). Por lo tanto, $j \circ i$ es una métrica isometría*. Por lo tanto, $i$ es inyectiva, por lo tanto, una suave isométrica bijection. Por el teorema de la función inversa, su inversa es también suave, y hemos terminado.

*Cualquier surjective inextensible mapa de un espacio métrico compacto en sí mismo es una isometría (Este es un estándar de hecho en "métrica de la geometría").