¿Cómo se propaga una enfermedad a través de una red triangular?

Question

Consideremos una población de nodos dispuestos en una configuración triangular como se muestra en la figura siguiente, donde cada nivel $k$ tiene $k$ nodos. Cada nodo, excepto los del último nivel, es un nodo padre de dos nodos hijos. Cada nodo en los niveles $2$ y abajo tiene $1$ nodo padre si está en el borde, y $2$ los nodos parentales de otra manera.

El nodo único en el nivel $1$ está infectado (rojo). Con alguna probabilidad $p_0$ no infecta ninguno de sus nodos infantiles en el nivel $2$ . Con alguna probabilidad $p_1$ infecta exactamente uno de sus nodos hijos, con igual probabilidad. Con la probabilidad restante $p_2=1-p_0-p_1$ infecta a sus dos nodos infantiles.

Cada nodo infectado en el nivel $2$ entonces actúa de manera similar en sus dos nodos infantiles en el nivel $3$ y así sucesivamente hasta llegar a los niveles inferiores. Hace que no diferencia si un nodo es infectado por uno o dos nodos parentales - sigue siendo sólo infectado.

La figura siguiente muestra una posibilidad de cómo la enfermedad puede propagarse hasta el nivel $6$ .

La pregunta es: ¿cuál es el número esperado de nodos infectados en el nivel $k$ ?

Las simulaciones sugieren que esto es (al menos asintóticamente) lineal en $k$ es decir..,

$$ \mathbb {E}( \text {number of infected nodes in level } k) = \alpha k $$

donde $ \alpha = f(p_0, p_1,p_2)$ .

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Esta pregunta surge de un escenario práctico en una investigación que estoy haciendo. Desafortunadamente, las matemáticas involucradas están más allá de mi conocimiento actual, así que amablemente pido su ayuda. También se agradecen las referencias relevantes.

Le pedí a un versión diferente de esta cuestión hace algún tiempo, que no tenía la posibilidad de que un nodo no infectara a ninguno de sus nodos hijos. Ahora resulta que en el sistema que estoy viendo, la probabilidad de que esto ocurra no es insignificante.

Answer 1

Podemos dar fácilmente una solución asintótica a este problema. Supongamos la probabilidad de que un nodo de la fila $k$ está infectado converge a un límite estable $ \alpha $ (es decir, será lo mismo para cada $k \gg1 $ ). Deje que $x$ ser un nodo en la fila $k+1$ . Deje que $$ \beta := \frac {1}{2}p_1+p_2,$$ la probabilidad de que un padre infectado de $x$ infecta $x$ . Si exactamente uno de los padres de $x$ está infectado, la probabilidad de que $x$ está infectado es $ \beta $ y si ambos padres están infectados, es $1-(1- \beta )^2 = 2 \beta - \beta ^2$ . Por lo tanto: \begin {alinear} \alpha =P(x) \text (está infectado) \\ =&\ P( \text {exactamente uno de los padres de $x$ está infectado}) \beta\\ &+ P( \text {Ambos padres de $x$ están infectados})(2 \beta - \beta ^2) \\ =&\ 2 \alpha (1- \alpha ) \beta + \alpha ^2(2 \beta - \beta ^2). \end {alinear} Reordenando los términos, obtenemos la ecuación $$- \alpha ^2 \beta ^2 + \alpha (2 \beta - 1) = 0.$$ Esto tiene las soluciones $ \alpha_1 =0$ y $$ \alpha_2 = \frac {2 \beta -1}{ \beta ^2}.$$ Fíjate en que $ \alpha_2\in [0,1]$ si, y sólo si $ \beta\in [ \tfrac {1}{2},1]$ . Esto correspondería filosóficamente al hecho de que $ \alpha_2 $ es una solución "estable" sólo para $ \beta\in [ \tfrac {1}{2},1]$ y si no $ \alpha_1 $ es estable.

¿Puedes comprobar si obtienes el mismo resultado numéricamente?

Observación: Como se ha señalado en los comentarios, la probabilidad de que un nodo de una fila se infecte depende de la posición del nodo en la fila. La solución que presenté se aproxima idealmente al comportamiento en el centro de la fila, donde la situación es similar a empezar con una fila infinita en lugar de un solo nodo y extenderse desde allí.