Si $ \int_ {0}^{1} f dx=3$ y $ \int_ {0}^{1} xf dx =2$ y luego encontrar el valor máximo de $$ \int_ {0}^{1} f^2 dx.$$
¿Qué métodos se aplicarían para encontrar este valor máximo? No me estoy acercando a los métodos...
Respuestas
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Leon Katsnelson
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Deje que $f(x) = 6x + \lambda (x^2-x+{1 \over 6})$ . Es fácil comprobar que $f$ satisface las condiciones y $ \int_0 ^1 f^2 = 12+ \lambda ^2 {1 \over 180}$ .
Por lo tanto, podemos elegir $ \lambda $ tan grande como queramos y por lo tanto no hay un máximo.
Así es como abordé el problema: Deje que $ \langle f, g \rangle = \int_0 ^1 f(x)g(x) dx$ .
Entonces estamos buscando maximizar $\|f\|^2$ para $f$ de tal manera que $ \langle f, x \mapsto 1 \rangle = 3$ , $ \langle f, x \mapsto x \rangle = 2$ . Al elegir una función que es ortogonal a $x \mapsto 1, x \mapsto x$ nosotros puede añadir múltiplos de esta función sin cambiar el valor de las restricciones. En este caso, una de estas funciones es $x \mapsto x^2-x+{1 \over 6}$ . El resto es álgebra.
Samrat Mukhopadhyay
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Para una introducción completa al método de cálculo de la variación, puede ver esto referencia .
Queremos maximizar $ \int_ {0}^1 f^2 dx$ sujeto a las condiciones $ \int_ {0}^1 f dx=3,\ \int_ {0}^1 xf dx=2$ . Formamos el Lagrangiano, $l(x, \lambda , \mu )=f^2(x)- \lambda f(x)- \mu xf(x)$ . Entonces usa las ecuaciones de Euler-Lagrange para obtener $$ \frac { \partial l}{ \partial x}=0 \implies 2f(x)f'(x)- \lambda f'(x)- \mu (f(x)+xf'(x))=0$$ Resuelve esta ecuación diferencial para $f(x)$ y utilizar las restricciones para resolver para $ \lambda , \mu $ y eso te dará un extremo.
