Evalúe

Question

Cumple con la función $W(x)$ $W(x)e^{W(x)}=x$ % todos $x$. Evaluar %#% $ #%

Intenté integrar $$\int_0^e{W(x)}\,\mathrm{d}x$ pero no se puede ver cómo hacerlo.

Answer 1

Integrar por partes con $u=W(x)$ y $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$

$$\int{W(x)}\,\mathrm{d}x=xW(x) - \int xW'(x)\,\mathrm{d}x=xW(x)-\int W(x)W'(x)e^{W(x)}\,\mathrm{d}x$$

Integrar por partes otra vez con $u = W(x)$ y $\mathrm{d}v=W'(x)e^{W(x)}\,\mathrm{d}x$

$$\int W(x)W'(x)e^{W(x)}\,\mathrm{d}x=W(x)e^{W(x)} - \int W'(x)e^{W(x)}\,\mathrm{d}x=W(x)e^{W(x)}-e^{W(x)}$$

Así $$\int{W(x)}\,\mathrm{d}x=xW(x) -W(x)e^{W(x)}+e^{W(x)}=x\left(W(x)-1+\frac{1}{W(x)}\right)$ $

Tenga en cuenta que $W(e) = 1$ y $W(0)=0$ y $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{x}{W(x)}=1}$

$$\left|x\left(W(x)-1+\frac{1}{W(x)}\right)\right|_0^e=e\left(W(e)-1+\frac{1}{W(e)}\right) - \left(\lim_{x\to 0}\frac{x}{W(x)}\right) = e-1$$

Answer 2

La relación $W(x) e^{W(x)}=x$ significa que desea manipular el integrando de una manera que hace que un término de "x" pop-up, que entonces puede sustituir la expresión más complicada. Queremos luego abrir una sustitución que le da una norma integral para evaluar.

Es una integración por partes.